Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx-3k（k＞0）分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B．拋物線y=x²+（k-3）x-3k經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，且在直線y=kx-3k（k＞0）的下方，其橫坐標(biāo)為2k，連結(jié)PA、PB，設(shè)△PAB的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）．
（2）求S與k之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求S等于2時(shí)k的值．
（4）求S取得最大值時(shí)此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2k代入拋物線y=x²+（k-3）x-3k，可求P的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）．
（2）過P點(diǎn)作PQ∥y軸交AB于點(diǎn)Q，過B點(diǎn)作BN⊥PQ于點(diǎn)N，過A點(diǎn)作AM⊥PQ于點(diǎn)M，可得P（2k，6k²-9k），Q（2k，2k²-3k），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得PQ，再根據(jù)S_△PAB=S_△PQB+S_△PQA，可求S與k之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)S等于2，可得關(guān)于k的方程，解方程可求k的值．
（4）根據(jù)配方法可求S取得最大值時(shí)k的值，進(jìn)一步得到拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P在拋物線y=x²+（k-3）x-3k上，且其橫坐標(biāo)為2k，
∴y=4k²+（k-3）×2k-3k=6k²-9k，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（2k，6k²-9k）；
（2）如圖，過P點(diǎn)作PQ∥y軸交AB于點(diǎn)Q，過B點(diǎn)作BN⊥PQ于點(diǎn)N，過A點(diǎn)作AM⊥PQ于點(diǎn)M，
則P（2k，6k²-9k），Q（2k，2k²-3k），
則PQ=-4k²+6k），
S_△PAB=S_△PQB+S_△PQA
=$\frac{1}{2}$PQ•BN+$\frac{1}{2}$PQ•AM
=$\frac{1}{2}$PQ（BN+AM）
=$\frac{3}{2}$PQ
=-6k²+9k；
（3）依題意有
-6k²+9k=2，
解得k₁=$\frac{9-\sqrt{33}}{12}$，k₂=$\frac{9+\sqrt{33}}{12}$；
（4）S_△PAB=-6k²+9k=-6（k-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)k=$\frac{3}{4}$時(shí)，△PAB面積最大值是$\frac{27}{8}$，y=x²-$\frac{9}{4}$x-$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式，三角形面積，二次函數(shù)最值的知識點(diǎn)，同時(shí)涉及方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．