Question

閱讀下列材料并填空。平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？

（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線……

（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)發(fā)現(xiàn)：如下表

點(diǎn)的個(gè)數(shù)	可作出直線條數(shù)
2	1=
3	3=
4	6=
5	10=
……	……
n

(3)推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線。取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n-1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即

（4）結(jié)論：

試探究以下幾個(gè)問題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？

（1）分析：

當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出       個(gè)三角形；

    當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出       個(gè)三角形；

    當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出       個(gè)三角形；

……

（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)：（填下表）

點(diǎn)的個(gè)數(shù)	可連成三角形個(gè)數(shù)
3
4
5
……
n

(3)推理：                              （4）結(jié)論：

 

Answer 1

【答案】

（1）1,4,10（2）

（3）見解析（4）結(jié)論：S_n= ．

【解析】（1）當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作1個(gè)三角形；

當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作4個(gè)三角形；

當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作10個(gè)三角形．

（2）填表如下：

 

（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有B有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，

所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，

故應(yīng)除以6，

即S_n= ．

（4）結(jié)論：S_n= ．

由于平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n-1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）個(gè)三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，故應(yīng)除以6，故可得答案．