Question

如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以2cm/s的速度，沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．連接PQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先運(yùn)用勾股定理求出AB邊的長(zhǎng)度，然后根據(jù)路程=速度×時(shí)間，分別表示出BQ、PB的長(zhǎng)度；
（2）由于∠B=90°，如果△PBQ為等腰三角形，那么只有一種情況，即BP=BQ，由（1）的結(jié)果，可列出方程，從而求出x的值；
（3）根據(jù)四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積，列出方程，根據(jù)解的情況即可判斷．
解答：解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=x，PB=8-2x；

（2）由題意，得
8-2x=x，
∴x=．
∴當(dāng)x=時(shí)，△PBQ為等腰三角形；

（3）假設(shè)存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²，
則，
解得x₁=x₂=2．
假設(shè)成立，所以當(dāng)x=2時(shí)，四邊形APQC面積的面積等于20cm²．
點(diǎn)評(píng)：本題借助動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考查了勾股定理，路程與速度、時(shí)間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)以及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．