Question

如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為（8，3），定點D的坐標為（12，0），動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，PQ兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t=

 

時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B；
（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，過定點E（5，0）作EF⊥BC，垂足為F，當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內(nèi)部時，過點R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t的值；
（2）在圖形運動的過程中，有三種情形，需要分類討論，避免漏解；
（3）首先判定ABFE為正方形；其次通過旋轉(zhuǎn)，由三角形全等證明MN=EM+BN；設(shè)EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）-9=0，由此等式列方程求出時間t的值．

解答：解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過點B時，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，
∴AB=AQ，即3=4-t，
∴t=1．
即當t=1秒時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B．

（2）①當0≤t≤1時，如答圖1-1所示．

設(shè)PR交BC于點G，
過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC
=8×3-

1

2

（2t+2t+3）×3
=

39

2

-6t；
②當1＜t≤2時，如答圖1-2所示．

設(shè)PR交BC于點G，RQ交BC、AB于點S、T．
過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
QD=t，則AQ=AT=4-t，
∴BT=BS=AB-AQ=3-（4-t）=t-1．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC-S_△BST
=8×3-

1

2

（2t+2t+3）×3-

1

2

（t-1）²
=-

1

2

t²-5t+19；
③當2＜t≤4時，如答圖1-3所示．

設(shè)RQ與AB交于點T，則AT=AQ=4-t．
PQ=12-3t，∴PR=RQ=

2

2

（12-3t）．
S=S_△PQR-S_△AQT
=

1

2

PR²-

1

2

AQ²
=

1

4

（12-3t）²-

1

2

（4-t）²
=

7

4

t²-14t+28．
綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

39 2 -6t(0≤t≤1) - 1 2 t2-5t+19(1＜t≤2) 7 4 t2-14t+28(2＜t≤4)

．

（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，
∴四邊形ABFE是正方形．
如答圖2，將△AME繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM′，其中AE與AB重合．
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM+∠NAB=45°，
∴∠BAM′+∠NAB=45°，
∴∠MAN=∠M′AN．
連接MN．在△MAN與△M′AN中，

AM=AM′ ∠MAN=∠M′AN AN=AN

∴△MAN≌△M′AN（SAS）．
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN．

設(shè)EM=m，BN=n，則FM=3-m，F(xiàn)N=3-n．
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM²+FN²=MN²，即（3-m）²+（3-n）²=（m+n）²，
整理得：mn+3（m+n）-9=0．   ①
延長NR交x軸于點S，則m=EM=RS=

1

2

PQ=

1

2

（12-3t），
∵QS=

1

2

PQ=

1

2

（12-3t），AQ=4-t，
∴n=BN=AS=QS-AQ=

1

2

（12-3t）-（4-t）=2-

1

2

t．
∴m=3n，
代入①式，化簡得：n²+4n-3=0，
解得n=-2+

7

或n=-2-

7

（舍去）
∴2-

1

2

t=-2+

7

解得：t=8-2

7

．
∴若∠MAN=45°，則t的值為（8-2

7

）秒．

點評：本題是運動型綜合題，涉及動點與動線，復(fù)雜度較高，難度較大．第（2）問中，注意分類討論周全，不要遺漏；第（3）問中，善于利用全等三角形及勾股定理，求得線段之間的關(guān)系式，最后列出方程求解．題中運算量較大，需要認真計算．