Question

閱讀材料：
已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．

∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=

1

2

BC•r+

1

2

AC•r+

1

2

AB•r=

1

2

（a+b+c）r．
∴r=

2S

a+b+c

．
（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；
（2）理解應(yīng)用：如圖（3），在四邊形ABCD中，⊙O₁與⊙O₂分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，⊙O₁與△ABD切點(diǎn)分別為E、F、G，設(shè)它們的半徑分別為r₁和r₂，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S_△DBC=9，r₂=1，求r₁的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OA，OB，OC，OD，根據(jù)所給出的例子即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題中所給出的例子得出BD的長，再由AE=4，可得出AD+AB+BD的長，再根據(jù)勾股定理求出DG的長，由r₁=

2S△ABD

AD+AB+BD

即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接OA，OB，OC，OD，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOD+S_△COD=

1

2

（a+b+c+d）r，
∴r=

2S

a+b+c+d

；

（2）∵S_△DBC=9，r₂=1，
∴BC+CD+BD=

2S△DBC

r2

=18，
∵BC+CD=10，
∴BD=8．
∵⊙O₁是△ABD的內(nèi)切圓，
∴AE=AG=4，BE=BF，DF=DG，
∴DG+BE=BD=8，
∴設(shè)DG=x，則BE=8-x，
∵∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²，即（4+x）²+8²=（4+8-x）²，解得x=2，
∴AD=AG+DG=4+2=6，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BD=

1

2

×6×8=24，
∵AD+AB+BD=AG+AE+（DG+BE）+BD=4+4+8+8=24，
∴r₁=

2S△ABD

AD+AB+BD

=

2×24

24

=2．

點(diǎn)評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、勾股定理等知識，難度適中．