Question

8．已知一元二次方程x²+2x-3=0的兩根是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，且拋物線過點 （3，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）將（1）所求得的二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位，求平移后的二次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）先解方程方程x²+2x-3=0得x₁=-3，x₂=1，根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到拋物線與x軸的兩個交點為（-3，0），（1，0），則可設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+3）（x-1）（a≠0），然后把點（3，6）代入求出a即可；
（2）把（1）中的解析式配成頂點式得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，此拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1，-2），根據(jù)點平移的規(guī)律，點（-1，-2）平移后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（1，1），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的二次函數(shù)解析式．

解答 解：（1）∵方程x²+2x-3=0的解為x₁=-3，x₂=1，
∴拋物線與x軸的兩個交點為（-3，0），（1，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
∵點（3，6）在拋物線上，
∴a×6×2=6，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$ （x+3）（x-1），即y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，此拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1，-2），
把點（-1，-2）向右平移2個單位，再向上平移3個單位后所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為（1，1），
所以平移后的二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²+1，即y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函數(shù)圖形與幾何變換．