Question

已知關于x的方程x²+（m-2）x-9=0
（1）求證：無論m取什么實數(shù)，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若這個方程兩個根α，β滿足2α+β=m+1，求m的值．

Answer 1

分析：（1）證明其根的判別式大于零即可；
（2）由α+β=2-m得到2α+β=α+α+β=α+2-m，然后代入到2α+β=m+1，即可求得m的值．

解答：解：（1）證明：方程的根的判別式△=（m-2）²-4×1×（-9）=（m-2）²+36
∵無論m取何實效（m-2）²+36＞0恒成立
∴這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根
（2）解由根與系數(shù)的關系．得α+β=2-m
則2α+β=α+α+β=α+2-m
∵2α+β=m+1，∴α+2-m=m+1，則α=2m-1
∵α是方程的根，∴α²+（m-2）α-9=0
則（2m-1）²+（m-2）（2m-1）-9=0
整理，得2m²-3m一2=0
解，得m₁=2，m₂=-

1

2

．

點評：本題考查了根的判別式及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟知根與系數(shù)的關系及用根的判別式判定根的情況．