Question

5．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有一根為零時(shí)，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，求線段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=2²-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，然后解不等式得到k的范圍，再在k的取值范圍內(nèi)找出正整數(shù)即可；
（2）先把x=0代入x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0中求出k=-1，從而得到二次函數(shù)解析式為y=x²+2x，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)M（t，t+2）（-2＜t＜1），則N（t，t²+2t），所以MN可表示為t²-t+2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=2²-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，解得k＜3，
而k為正整數(shù)，
所以k=1或2；
（2）當(dāng)x=0代入x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0得k=1，則方程為x²+2x=0，
二次函數(shù)為y=x²+2x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，則A（-2，0），B（1，3），如圖，
設(shè)M（t，t+2）（-2＜t＜1），則N（t，t²+2t），
所以MN=t+2-（t²+2t）=-t²-t+2=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，MN有最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；理解根的判別式的意義和一元二次方程根的定義；會(huì)通過解方程組求一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．