【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,點A(0,3),點B(﹣3,0),點C(1,0),點D(0,1),連AB,AC,BD.
(1)求證:BD⊥AC;
(2)如圖②,將△BOD繞著點O旋轉(zhuǎn),得到△B′OD′,當點D′落在AC上時,求AB′的長;
(3)試直接寫出(Ⅱ)中點B′的坐標.
【答案】(1)證明見解析;(2)AB'=;(3)B'(﹣, ).
【解析】試題分析:(1)延長BD交AC于M,由SAS證明△AOC≌△BOD,得出對應(yīng)角相等,即可得出結(jié)論;
(2)作OF⊥AC于F,OE⊥AB′于E,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BOD=∠B′OD′=90°,OB=OB′,由矩形的性質(zhì)得出OF=AE,求出點B(-3,0),得出OB=OA=OB′,證出AE=EB′,由勾股定理得出AC=,由三角形的面積求出OF=,得出AB'=2AE=2OF=即可;
(3)由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-3x+3,得出直線OE的解析式為y=-3x,直線AB'的解析式為y=x+3,解方程組得出點E的坐標,設(shè)B'(a,b),由中點坐標公式即可得出答案.
試題解析:(1)證明:延長BD交AC于M,如圖①所示:
∵點A(0,3),點B(﹣3,0),點C(1,0),點D(0,1),
∴OA=OB=3,OC=OD=1,
在△AOC和△BOD中, ,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴∠OAC=∠OBD,
∵∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠OBD+∠ACO=90°,
∴∠BMC=90°,
∴BD⊥AC;
(2)解:作OF⊥AC于F,OE⊥AB′于E,如圖②所示:
∵將△BOD繞著點O旋轉(zhuǎn),得到△B′OD′,∠BOD=90°,
∴∠B′OD′=90°,OB=OB′,
∴四邊形OFAE是矩形,
∴OF=AE,
∵點A(0,3),點B(﹣3,0),
∴OB=OA=OB′,
∵OE⊥AB′,
∴AE=EB′,
由勾股定理得:AC=,
由三角形的面積得:ACOF=OAOC,
∴OF===,
∴AB'=2AE=2OF=;
(3)解:設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
根據(jù)題意得: ,
解得: ,
∴直線AC的解析式為y=﹣3x+3,
∵OE∥AC,AB'⊥AC,
∴直線OE的解析式為y=﹣3x,直線AB'的解析式為y=x+3,
解方程組得: ,
即E(﹣, ),
設(shè)B'(a,b),由中點坐標公式得: =﹣, ,
解得:a=﹣,b=,
∴B'(﹣, ).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校舉辦了“創(chuàng)建文明城市知識”競賽,為獎勵在競賽中表現(xiàn)優(yōu)異的班級,學(xué)校準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球(每個足球的價格相同,每個籃球的價格相同),購買1個足球和1個籃球共需159元;足球單價是籃球單價的2倍少9元
(1)求足球和籃球的單價各是多少元?
(2)根據(jù)學(xué)校實際情況,需一次性購買足球和籃球共20個,但要求購買足球和籃球的總費用不超過1590元,學(xué)校最多可以購買多少個足球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A(3,0),與y軸交于點B(0,3),點P是x軸上一動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點C,交直線AB于點D,設(shè)P(x,0).
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)當0<x<3時,求線段CD的最大值;
(3)在△PDB和△CDB中,當其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時,求相應(yīng)x的值;
(4)過點B,C,P的外接圓恰好經(jīng)過點A時,x的值為 .(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某天,一蔬菜經(jīng)營戶用114元從蔬菜批發(fā)市場購進黃瓜和土豆共40kg到菜市場去賣,黃瓜和土豆這天的批發(fā)價好零售價(單位:元/kg)如下表所示:
品名 | 批發(fā)價 | 零售價 |
黃瓜 | 2.4 | 4 |
土豆 | 3 | 5 |
(1)他當天購進黃瓜和土豆各多少千克?
(2)如果黃瓜和土豆全部賣完,他能賺多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求DE的長;
(2)求△ADB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料一:小明計算,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為計算,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為
閱讀材料二:小華發(fā)現(xiàn)一個有趣的算式
(1)請模仿小華的算式,再寫出一個類似的正確算式;
(2)請用字母表示小華算式的規(guī)律;
(3)請用閱讀材料一中蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律或你掌握的數(shù)學(xué)知識說明(2)中的規(guī)律為何成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,把二元一次方程的一個解用一個點表示出來,例如:可以把它的其中一個解用點(2,1 )在平面直角坐標系中表示出來
探究1:
(1)請你在直角坐標系中標出4個以方程的解為坐標的點,然后過這些點中的任意兩點作直線,你有什么發(fā)現(xiàn),請寫出你的發(fā)現(xiàn) .
在這條直線上任取一點,這個點的坐標是方程的解嗎? (填“是”或“不是”___
(2)以方程的解為坐標的點的全體叫做方程的圖象.根據(jù)上面的探究想一想:方程的圖象是_ _.
探究2:根據(jù)上述探究結(jié)論,在同-平面直角坐標系中畫出二元一次方程組中的兩個二元一次方程的圖象,由這兩個二元一次方程的圖象,請你直接寫出二元一次方程組的解,即
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料,主要原料均為甲和乙,每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示.現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進行試生產(chǎn),計劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶.設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶,解析下列問題:
原料名稱 飲料名稱 | 甲 | 乙 |
A | 20克 | 40克 |
B | 30克 | 20克 |
(1)有幾種符合題意的生產(chǎn)方案寫出解析過程;
(2)如果A種飲料每瓶的成本為2.60元,B種飲料每瓶的成本為2.80元,這兩種飲料成本總額為y元,請寫出y與x之間的關(guān)系式,并說明x取何值會使成本總額最低?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】萬州長江三橋于2019年5月30日建成通車,三橋如一架巨大的豎琴屹立于平湖之上,巍峨挺拔,絢麗多彩,成為萬州靚麗的風(fēng)景。周末,小明和爺爺一同在大橋上勻速散步,他們散步的速度是50米/分,小明觀察到同向車道上駛過的公交車間隔時間是10分鐘40秒,假定同向的公交車都保持48千米/小時的速度勻速行駛(中途?空镜臅r間忽略不計),且公交車從車站發(fā)車的時間間隔是固定的,則車站每隔______分鐘發(fā)出一輛公交車。
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