Question

（1）如圖①，將邊長(zhǎng)為1的等邊三角形紙片（即△OAB）沿直線(xiàn)l1向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），三角形紙片經(jīng)過(guò)兩次滾動(dòng)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₂處；則頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng) _________ ；
（2）類(lèi)比研究：如圖②，將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC沿直線(xiàn)l₂向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），OA邊與直線(xiàn)l₂重合，將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，…，按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}①若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)，并求頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑與直線(xiàn)l₂圍成圖形的面積；
②若正方形OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng) _________ ；
③正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)2010次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是 _________ ．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OAO1=120°，
∴頂點(diǎn)O滾動(dòng)1次經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為=π，
∴兩次滾動(dòng)后點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為：2×π=π；
（2）如圖2，為了便于標(biāo)注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不防向右移動(dòng)一點(diǎn)，
第1次旋轉(zhuǎn)路線(xiàn)是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線(xiàn)長(zhǎng)為=π，面積為=π，
第2次旋轉(zhuǎn)路線(xiàn)是以正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線(xiàn)長(zhǎng)為=π，面積為=π，
第3次旋轉(zhuǎn)路線(xiàn)是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線(xiàn)長(zhǎng)為=π，面積為=π，
①經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑為π+π+π=π，與直線(xiàn)l₂圍成圖形的面積為π+π+π=π；
②第4次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)O沒(méi)有移動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后于最初正方形的放置相同，因此5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為π+π+?+0+π=π；
③∵2010÷5=402，
∴經(jīng)過(guò)2010次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是5次旋轉(zhuǎn)路程的402倍，
π×402=603π+201π．
故答案為：（1）π；（2）π，603π+201π．