Question

4．有10個正實數(shù)，這些數(shù)中每兩個乘積恰好為1，這時甲同學斷言，任何9個數(shù)的和不小于$\sqrt{2}$；乙同學斷言：任何9個數(shù)的和小于$\sqrt{2}$，則兩位同學甲正確．

Answer 1

分析 由每兩個乘積恰好為1，判斷任意兩數(shù)互為倒數(shù)，任意9數(shù)的和列出代數(shù)式，根據(jù)a²+b²≥2ab從而確定和的范圍．

解答 解：∵這些數(shù)中每兩個乘積恰好為1，且都是正數(shù)，
∴任意兩個數(shù)互為倒數(shù)，
故可設(shè)這兩數(shù)分別為x，$\frac{1}{x}$（x＞0，$\frac{1}{x}$＞0），且x•$\frac{1}{x}$=1；
根據(jù)題意，任意9個數(shù)的和為：
①$4（x+\frac{1}{x}）+x$=5x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{5x•\frac{4}{x}}$=4$\sqrt{5}$；
②$4（x+\frac{1}{x}）+\frac{1}{x}$=4x+$\frac{5}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{5}{x}}$=4$\sqrt{5}$；
∵4$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$，
∴任意9個數(shù)的和不小于$\sqrt{2}$．
故答案為：甲．

點評 本題主要考查倒數(shù)的性質(zhì)及a²+b²≥2ab的應用，根據(jù)題意列出代數(shù)式并確定范圍是關(guān)鍵．