Question

如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M，點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合)，PQ∥y軸與拋物線交于點Q。

  (1)求經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式；

  (2)判斷⊿BDC的形狀，并給出證明；當P在什么位置時，以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，并求出此時點P的坐標；

  (3)若拋物線的頂點為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由。

Answer 1

（1）B(-1,0) E(0,4) C(4，0)   設(shè)解析式是

可得     解得   （2分）  ∴（1分）

（2）⊿BDC是直角三角形        （1分）

∵BD²=BO²+DO²=5 , DC²=DO²+CO²=20 ,BC²=(BO+CO)²=25

∴BD²+ DC²= BC²                  （1分）

 ∴⊿BDC是Rt⊿

點A坐標是（-2,0），點D坐標是（0,2）直線AD的解析式是 （1分）

設(shè)點P坐標是（x，x+2）

當OP=OC時 x²+(x+2)²=16 解得 （不符合，舍去）此時點P（）

當PC=OC時 方程無解

當PO=PC時，點P在OC的中垂線上，∴點P橫坐標是2， 得點P坐標是（2,4）

∴當⊿POC是等腰三角形時，點P坐標是（）或（2,4） （2分）

（3）       點M坐標是（）N坐標是（）∴MN=

設(shè)點P 為（x，x+2）Q(x,-x²+3x+4),則PQ=

①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x₁=0.5 x₂=1.5

當x₂=1.5時，點P與點M重合；當x₁=0.5時，可求得PM=，所以菱形不存在（2分）

②能成為等腰梯形，此時點P的坐標是（2.5,4.5）（2分）