Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE．
（1）求證：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，且線段DG=2cm，BG=6cm．求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，根據(jù)等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，可證得∠BAE=∠CDE，繼而可證得△BAE≌△CDE，則可證得BE=CE；
（2）首先延長(zhǎng)CD和BE的延長(zhǎng)線交于H，易證得△BEG≌△CEH與△GED≌△HED，則可證得BG=DG+CD，又由線段DG=2cm，BG=6cm，即可求得線段CD的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，
∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE與△CDE中，
，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=CE；

（2）解：延長(zhǎng)CD和BE的延長(zhǎng)線交于H，
∵BF⊥CD，∠BEC=90°，
∴∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，
∴∠EBF=∠ECH，
在△BEG和△CEH中，
，
∴△BEG≌△CEH（ASA），
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE，
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
在△GED和△HED中，
，
∴△GED≌△HED（SAS），
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD，
∵DG=2cm，BG=6cm，
∴CD=BG-DG=4（cm）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．