一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù),它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等,這樣的直角三角形是否存在?若存在,確定它三邊的長(zhǎng),若不存在,說明理由.
分析:假設(shè)存在符合條件的直角三角形,它的三邊長(zhǎng)為a、b、c,其中c為斜邊,則
,于是將存在性問題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解.
解答:解:假設(shè)符合條件的直角三角形存在,它的三邊長(zhǎng)為a、b、c,其中c為斜邊,則
,
∵a、b、c均為正整數(shù),
∴a≠b;不妨設(shè)a>b,則有a+b+
=
,
∴a+b-
=
,
兩邊平方,得
a
2+2ab+b
2-ab(a+b)+
=a
2+b
2整理得:
-a
2b-ab
2+2ab=0,
消去ab得:
-a-b+2=0,即(a-4)(b-4)=8,
又∵8=1×8=2×4,
∴①
,解得
,則c=13;
②
,解得
,則c=10;
綜上所述,符合條件的直角三角形存在,其邊長(zhǎng)分別是5、12、13;6、8、10.共有2個(gè)這樣的直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根及有理根、勾股定理的逆定理的應(yīng)用.在解題過程中,當(dāng)勾股定理不能直接運(yùn)用時(shí),常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑,為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件,有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系,這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組.