Question

如圖1，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=12cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以2cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度數(shù)．
（2）以OB為直徑的⊙O′與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O′相切？
（3）是否存在△RPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；
（2）連接O′M，當PM與⊙O′相切時，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點的運動速度，即可根據(jù)時間=路程÷速度求得t的值；
（3）存在△RPQ為等腰三角形，由于△QPQ的腰和底不確定，需分類討論：①PR=RQ，②PR=PQ，③RQ=PQ時分別求出符合題意的t值即可，
解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB===，
∴∠OAB=30°．

（2）如圖，連接O′P，O′M．
當PM與⊙O′相切時，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等邊三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6，
又∵OP=2t，
∴2t=6，t=3．
即：t=3時，PM與⊙O‘相切．
（3）存在△RPQ為等腰三角形，
理由如下：由題意可知：PR2=16t2-48t，PQ2=52t2-288t，RQ2=28t2-240t+576，
當①PR=RQ時，可得t=8-2（t=8+舍去）；
當②PR=PQ時，可得t=；
當③RQ=PQ時，可得t=1+（t=1-舍去）
綜上可知：當t=8-2，，1+時，△RPQ為等腰三角形．
點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，需注意的是（3）題在不確定等腰三角形腰和底的情況下，要充分考慮到各種可能的情況，以免漏解．