Question

碼頭A、B位于東西走向的河岸線l上，一游輪在P處測得碼頭A在其北偏東70°，游輪向東航行10分鐘后到達(dá)Q處，此時測得碼頭B在其北偏東35°．已知游輪的速度為30千米/小時，兩碼頭A、B相距2千米．
（1）求點P到河岸線l的距離；
（2）若該游輪按原速度從點Q駛向碼頭B，則它至少需要多長時間才能到達(dá)碼頭B？（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈

3

5

，cos35°≈

4

5

，tan35°≈

7

10

，sin70°≈

9

10

，cos70°≈

7

20

，tan70°≈

27

10

）

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：

分析：（1）過點B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于點F，易證四邊形APFB是平行四邊形．在△BFQ中，由正弦定理，求出BQ=

7

4

．再在直角△BEQ中，利用三角函數(shù)求出BE即可；
（2）由BQ=

7

4

千米，游輪的速度為30千米/小時，根據(jù)時間=路程÷速度即可求解．

解答：解：（1）過點B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于點F．
∵AB∥PQ，BF∥AP，
∴四邊形APFB是平行四邊形，
∴PF=AB=2千米，∠EFB=∠EPA=20°，
∴FQ=PQ-PF=30×

10

60

-2=3（千米）．          
在△BFQ中，∵∠BFQ=20°，∠FQB=90°+35°=125°，
∴∠FBQ=180°-∠BFQ-∠FQB=35°，
由正弦定理得，

BQ

sin∠BFQ

=

FQ

sin∠FBQ

，即

BQ

7 20

=

3

3 5

，
解得BQ=

7

4

．
在Rt△BEQ中，∵∠BEQ=90°，∠QBE=35°，
∴BE=BQ•cos∠QBE≈

7

4

×

4

5

=

7

5

．
答：點P到河岸線l的距離是

7

5

千米；

（2）∵BQ=

7

4

千米，游輪的速度為30千米/小時，
∴該游輪按原速度從點Q駛向碼頭B的時間為：

7

4

÷30=

7

120

（小時）．
答：若該游輪按原速度從點Q駛向碼頭B，則它至少需要

7

120

小時才能到達(dá)碼頭B．

點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正弦定理，銳角三角函數(shù)的定義，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．