Question

已知拋物線y=mx²+（3-m）x+m²+m交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點，（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，M為頂點．
（1）試確定m的值；
（2）設(shè)點P（a，b）是拋物線上點C到點M之間的一個動點（含C、M點），△POQ是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形，過點Q作x軸的垂線交直線AM于點R，其中A（-1，-5），連接PR．設(shè)△PQR的面積為S，求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）用m表示出二次函數(shù)兩個根的和、積，代入等式x₁x₂+x₁+x₂=4，并結(jié)合△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，解出即可；
（2）由拋物線的解析式得出頂點坐標(biāo)，利用A，M坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，點P（a，b），根據(jù)題意得，Q點坐標(biāo)為（2a，0），由直線的解析式得，點R的坐標(biāo)為（2a，6a-2），過點P作PN⊥RQ于點N，則RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以，S=

1

2

RQ•PN=

1

2

|6a-2||a|，分類討論解答出即可．

解答：解：（1）因為拋物線y=mx²+（3-m）x+m²+m交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，
∴m≠0
∵x₁+x₂=

m-3

m

，x₁x₂=

m2+m

m

，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂=4，
∴

m2+m

m

+

m-3

m

=4，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合題意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x²+4x，
∴頂點M的坐標(biāo)為（2，4），如圖，
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
∵A（-1，-5），
則有

-5=-k+b 4=2k+b

，
解得

k=3 b=-2

，
∴y=3x-2，
依題意，點P（a，b）是拋物線上點C到點M之間的一個動點，
∴0＜a≤2，
∴Q點坐標(biāo)為（2a，0），
由（2）知直線AM為y=3x-2，
∴當(dāng)x=2a時，y=6a-2，
∴點R的坐標(biāo)為（2a，6a-2），
過點P作PN⊥RQ于點N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=

1

2

RQ•PN=

1

2

|6a-2|•|a|，
當(dāng)0＜a＜

1

3

時，S=

1

2

（2-6a）•a=-3a²+a，
當(dāng)a=

1

3

時，△PQR不存在；
當(dāng)

1

3

＜a≤2時，S=

1

2

（6a-2）•a=3a²-a．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式、解析式和三角形的面積求法等；在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意、分情況討論結(jié)果．