Question

如圖，△ABC中，O在AC的延長(zhǎng)線上，⊙O過(guò)C、B兩點(diǎn)，交直線AC于D，若CA=CB=CO．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)E是劣弧上一點(diǎn)，弦CE與BD相交于點(diǎn)F，tan，若DF=，求線段FE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：如圖：
連接OB、BE，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
∴DB是⊙O的切線；

（2）解：在直角△ABF中，由tan∠BFA=，設(shè)AB=a，則BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA===．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△FDE∽△FCB，
∴，
∴，
∴EF=（）
分析：（1）連接OB，得到△OAB是等邊三角形，∠OBA=∠OAB=60°，再由AD=AB得到∠ABD=30°，所以∠DBO=90°，證明BD是⊙O的切線．
（2）在直角△ABF中，求出cos∠BFA的值，然后由△ACF∽△BEF，得到 =，求出直徑AC，再確定圓的半徑的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)正確的列出比例式．