Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連接EF、EO．若DE=2

3

，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分及△PBF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理由OC⊥DE得EC=

1

2

DE=

3

，由弦DE垂直平分半徑OA得OC=

1

2

OA=

1

2

OE，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠E=30°，OC=

3

3

CE=1，所以O(shè)E=2；
（2）連結(jié)OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠EOF=2∠EPF=90°，則根據(jù)扇形面積公式和圖中陰影部分的面積=S_扇形EOF-S_△OEF計(jì)算得到S_陰影=π-2；再利用勾股定理計(jì)算出BD=2

3

，易得△BED為等邊三角形，則∠BED=60°，所以∠BFD=∠BED=60°，利用△PCD為等腰直角三角形得到PC=DC=

3

，可計(jì)算得PB=3-

3

，在Rt△PBH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可計(jì)算出BH=PH=

2

2

PB=

3 2 - 6

2

，在Rt△BHF中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到HF=

3

3

BH=

6 - 2

2

，則PF=PH+HF

2

，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．

解答：解：（1）∵OC⊥DE，
∴DC=EC=

1

2

DE=

1

2

×2

3

=

3

，
∵弦DE垂直平分半徑OA，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

OE，
在Rt△OCE中，∵OE=2OC，
∴∠E=30°，
∴OC=

3

3

CE=1，
∴OE=2，
即⊙O的半徑為2；
（2）連結(jié)OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如圖，
∵∠DPA=45°，
∴∠DDC=45°，
∴∠EOF=2∠EPF=90°，△PCD為等腰直角三角形，
∴圖中陰影部分的面積=S_扇形EOF-S_△OEF
=

90•π•22

360

-

1

2

•2•2
=π-2；
∵BC=AB-AC=4-1=3，
而DC=

3

，
∴BD=

DC2+BC2

=2

3

，
∵BC垂直平分DE，
∴BD=BE=2

3

，
∵BD=DE=BE，
∴△BED為等邊三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠BFD=∠BED=60°，
∵△PCD為等腰直角三角形，
∴PC=DC=

3

，
∴OP=PC-OC=

3

-1，
∴PB=2-（

3

-1）=3-

3

，
在Rt△PBH中，∠BPH=∠DPC=45°，
∴BH=PH=

2

2

PB=

3 2 - 6

2

，
在Rt△BHF中，∠HBF=30°，
∴HF=

3

3

BH=

3

3

•

3 2 - 6

2

=

6 - 2

2

，
∴PF=PH+HF=

3 2 - 6

2

+

6 - 2

2

=

2

，
∴S_△PBF=

1

2

•

2

•

3 2 - 6

2

=

3- 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了扇形的面積公式、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．