Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F點，G是線段BC上一點，連接GE、GF、GM．若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，則AB=

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：根據(jù)線段中點的定義可得AM=MD，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠MDF=90°，再利用“角邊角”證明△AME和△DMF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EG=FG，再求出∠BGE=∠CFG，然后利用“角角邊”證明△BEG和△CGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BG=CF，BE=CG，設(shè)BE=x，然后根據(jù)BG、CF的長度列出方程求解即可．

解答：解：∵M是AD的中點，
∴AM=MD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
在△AME和△DMF中，

∠A=∠MDF AM=MD ∠AME=∠DMF

，
∴△AME≌△DMF（ASA），
∴AE=DF，
∵△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，
∴EG=FG，∠BGE+∠CGF=90°，
∵∠CGF+∠CFG=90°，
∴∠BGE=∠CFG，
在△BEG和△CGF中，

∠BGE=∠CFG ∠B=∠C=90° EG=FG

，
∴△BEG≌△CGF（AAS），
∴BG=CF，BE=CG，
設(shè)BE=x，則AE=DF=AB-x，
∵BG=4-x，CF=CD+DF=AB+x=AB+AB-x，
∴4-x=AB+AB-x，
解得AB=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等并列式表示出BG、CF是解題的關(guān)鍵．