Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA﹣AD以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A、D的時(shí)間分別為　_________　秒和　_________　秒；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作PN∥BC交DC于點(diǎn)N，作PM⊥BC，垂足為M，連接NQ，已知△PBM與△NCQ全等．

①試判斷：四邊形PMQN是什么樣的特殊四邊形？答：　_________　；

②若PN=3PM，求t的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在PQ=DC？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）10和25；

 

（2）①矩形

②依題意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t

∴MQ=BC﹣2CQ=135﹣6t

∵四邊形PMQN是矩形

∴PN=MQ=135﹣6t

∵PM⊥BC

∴∠PMB=90°

根據(jù)勾股定理，得：，

∵PN=3PM，135﹣6t=3×4t

解得：t=7.5；

 

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AD上（即10≤t≤25）時(shí)，存在PQ=DC．有下列兩種情況：

①如圖1，當(dāng)PQ∥DC時(shí)，

∵PD∥QC

∴四邊形PQCD是平行四邊形

∴PQ=DC，PD=QC

此時(shí)135﹣5t=3t

解得：；

 

②如圖2，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，

∵AP∥BQ

∴四邊形ABQP是平行四邊形

∴AP=BQ                                                      

即：5t﹣50=135﹣3t

解得：．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在PQ=DC，或