Question

已知一拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（6，0），B（4，3）
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線在第一象限的一點(diǎn)，求△POA面積的最大值；
（3）拋物線的對稱軸與直線OB交于點(diǎn)M，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)Q為拋物線的對稱軸上的一動點(diǎn)，以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為
由已知，拋物線過（0，0）、（6，0），（4，3）三點(diǎn)，得

解得
所求拋物線的解析式為
（2）∵△POA的底邊OA=6，
∴當(dāng)S△POA有最大值時，點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn)，
∵，∴拋物線的頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）
∴S_△POA的最大值=
（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)Q₁符合條件，
∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠B，
∵∠BCO=∠OQ₁M，
∴△Q₁OM∽△CBO
∴Q₁的坐標(biāo)為（3，0）過點(diǎn)O作OB的垂線交拋物線的對稱軸于Q₂，
∴∠Q₂OM=∠BCO=90°
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠BOC，
∴△Q₂MO∽△BOC
∵∠Q₂OM=∠COA=90°
∴∠Q₁OQ₂=∠COB
∵Q1O=CO=3，∠Q₂Q₁O=∠BCO，
∴△Q₂Q₁O≌△BCO，
∴Q₁Q2=CB=4，
∵點(diǎn)Q₂位于第四象限，
∴Q₂的坐標(biāo)為（3，-4）
因此符合條件的點(diǎn)有兩個，分別是Q₁（3，0）、Q₂（3，-4）