Question

【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1， ）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；
（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，

將點(diǎn)A（1， ）代入y=ax2得：a= ，

∴二次函數(shù)的解析式為y= x2

（2）

證明：∵點(diǎn)P在拋物線y= x2上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， x2），

過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=| x2﹣1|，PB=|x|，

∴Rt△BPF中，

PF= = x2+1，

∵PM⊥直線y=﹣1，

∴PM= x2+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥y軸，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP

（3）

解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴ x2+1=4，

解得：x=±2 ，

∴ x2= ×12=3，

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2 ，3）或（﹣2 ，3）

【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2 ， 將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論；（3）首先可得∠FMH=30°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案．