Question

已知關(guān)于x的方程mx²-3（m+1）x+2m+3=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若m≠0，拋物線y=mx²-3（m+1）x+2m+3與x軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于2，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求m的整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),一元一次方程的解,根的判別式

專題：

分析：（1）由關(guān)于x的一元二次方程得到m不為0，根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（2）對于拋物線解析式，令y=0，表示出x，根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，根據(jù)x的范圍即可確定出m的整數(shù)值．

解答：解：（1）由題意m≠0，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，即[-3（m+1）]²-4m（2m+3）=（m+3）²＞0，
解得：m≠-3，
則m的取值范圍為m≠0和m≠-3；
（2）設(shè)y=0，則mx²-3（m+1）x+2m+3=0．
∵△=（m+3）²，
∴x=

3m+3±(m+3)

2m

，
∴x₁=

2m+3

m

，x₂=1，
當(dāng)x₁=

2m+3

m

是整數(shù)時(shí)，可得m=1或m=-1或m=3，
∵|x|＜2，m=3不合題意舍去，
∴m的值為-1或1．

點(diǎn)評：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根的判別式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．