Question

（2012•寶安區(qū)二模）如圖1，已知矩形ABCD中，AB=

4

3

BC，O是矩形ABCD的中心，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，得矩形BEOF．
（1）線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是

AE=

4

3

CF；

，直線AE與CF的位置關(guān)系是

AE⊥CF

；
（2）固定矩形ABCD，將矩形BEOF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AE、CF．那么（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若AB=8，當(dāng)矩形BEOF旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)O在CF上時(shí)（如圖3），設(shè)OE與BC交于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F可知，四邊形OEBF為矩形，可推知各線段的數(shù)量及位置關(guān)系；
（2）延長(zhǎng)AE交BC于H，交CF于G，由已知得BE=

1

2

AB，BF=

1

2

BC進(jìn)而得到

BE

AB

=

BF

BC

=

1

2

，構(gòu)造相似三角形△ABE和△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
（3）根據(jù)已知條件，利用勾股定理求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OC的長(zhǎng)，判斷出△BPE∽△CPO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出PC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∴AE=

1

2

AB，CF=

1

2

BC，
∵AB=

4

3

BC，
∴

1

2

AB=

1

2

×

4

3

BC，即AE=

4

3

CF；
∵AB⊥BC，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，
∴AE⊥CF；
故答案為AE=

4

3

CF；AE⊥CF；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖1，延長(zhǎng)AE交BC于H，交CF于G，
由已知得BE=

1

2

AB，BF=

1

2

BC
∴

BE

AB

=

BF

BC

=

1

2

∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，

AE

CF

=

AB

BC

=

4

3

，
∵∠BAE+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHG，
∴∠BCF+∠CHG=90°
∴∠CGH=180°-（∠BCF+∠CHG）=90°，
∴AE⊥CF，且AE=

4

3

CF．

（3）∵AB=

4

3

BC，AB=8，
∴BC=6，
∴BE=OF=4，BF=OE=3，
∵點(diǎn)O在CF上，
∴∠CFB=90°，
∴CF=

BC2-BF2

=

62-32

=3

3

，
∴OC=CF-OF=3

3

-4，
∵∠CPO=∠BPE，∠PEB=∠POC=90°，
∴△BPE∽△CPO，
∴

CP

BP

=

OC

BE

，
設(shè)CP=x，則BP=6-x，
∴

x

6-x

=

3 3 -4

4

，
解得：x=

18-8 3

3

，
∴PC=

18-8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合問(wèn)題，借助矩形的性質(zhì)，做出適當(dāng)輔助線可有助于問(wèn)題的解答，由于綜合性較強(qiáng)，故難度較大．