Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過點(diǎn)B作直線∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直線AQ交y軸于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

； 
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)．當(dāng)a=

 

時(shí)，AQ+BQ的值最小為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．從條件“△APQ為等腰直角三角形”出發(fā)，構(gòu)造全等，即可解決問題．
（2）本題要求動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)A、B的距離之和AQ+BQ的最小值，屬于“將軍飲馬型”，只需求出動(dòng)點(diǎn)Q所在直線的解析式，然后運(yùn)用解決“將軍飲馬型”的方法即可解決問題；要求AQ+BQ取最小值時(shí)對應(yīng)的a的值，只需運(yùn)用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比建立關(guān)于a的方程，就可求出a的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，過點(diǎn)Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∠EPA=∠FPQ ∠PEA=∠PFQ=90° PA=PQ

∴△PEA≌△PFQ．
∴PE=PF，EA=QF．
∵a=1，∴P（1，3）．∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．∴PF=3，QF=1．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）．

（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，3），則PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a+3，5-a）．
∵無論a為何值，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（a+3，5-a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+8，
∴點(diǎn)Q始終在直線y=-x+8上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)直線y=-x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，如圖2所示．
當(dāng)x=0時(shí)y=8，當(dāng)y=0時(shí)x=8．∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
過點(diǎn)A關(guān)于直線MN作對稱點(diǎn)A′，連A′Q、A′M，
則A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：
當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值為A′B長．
設(shè)直線BP與A′M相交于點(diǎn)H，則BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=

BH2+A′H2

=

82+32

=

73

．
當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，
∵BN∥A′M，∴△BQN～△A′QM．
根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比可得：

xQ

8-xQ

=

BN

A′M

=

8-3

6

，解得x_Q=

40

11

．
∴a+3=

40

11

．∴a=

7

11

．
∴當(dāng)a=

7

11

時(shí)，AQ+BQ的值最小為

73

．
故答案為：（4，4）、

7

11

、

73

．

點(diǎn)評：這道題考查了全等的性質(zhì)與判定、相似的性質(zhì)與判定，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識，綜合性很強(qiáng)，求出動(dòng)點(diǎn)Q所在直線的解析式是解決這道難題的關(guān)鍵；當(dāng)直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)等腰直角三角形時(shí)，可考慮構(gòu)造全等三角形，找出線段之間的等量關(guān)系，從而將條件與所求線段有機(jī)地聯(lián)系起來；若要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值，應(yīng)聯(lián)想到“將軍飲馬”這個(gè)基本模型．