Question

設(shè)H是△ABC的垂心，求證：AH²+BC²=HB²+AC²=HC²+AB²．

Answer 1

分析：可作△ABC的外接圓及直徑AP．連接BP．高AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交外接圓于G，連接CG．通過(guò)證明∠HCB=∠BCG和已知，得出△HCD≌△GCD．再通過(guò)勾股定理可得CH²+AB²=4R²．同理可證AH²+BC²=BH²+AC²=4R²．

解答：解：作△ABC的外接圓及直徑AP．連接BP．高AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交外接圓于G，連接CG．
易證∠HCB=∠BCG，
從而△HCD≌△GCD．
故CH=GC．
又顯然有∠BAP=∠DAC，
從而GC=BP．
從而又有CH²+AB²=BP²+AB²=AP²=4R²．
同理可證AH²+BC²=BH²+AC²=4R²．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合圓的知識(shí)考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，有一定的難度，注意：三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心．