Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=a（x+1）（x-3）（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為M，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=ax+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）；
（2）如圖（1），若頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），連接BM、AM、BD，請(qǐng)求出二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，并求出四邊形ADBM的面積；
（3）如圖（2），連接DM，當(dāng)a為何值時(shí)，直線DM與x軸的夾角為45°？
（4）如圖（3），點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為$\frac{25}{4}$時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0解方程即可．
（2）用待定系數(shù)法即可求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，再根據(jù)A、D、B、M的坐標(biāo)求出四邊形ADBM的面積．
（3）通過(guò)解方程組求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)直線DM與x軸的夾角為45°列出方程即可求解．
（4）過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線AD于點(diǎn)F，設(shè)E（x，ax²-2ax-3a），寫出△ACE面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的最大值列出方程即可解決．

解答 解：（1）令y=0，a（x+1）（x-3）=0，解得x=-1或3，所以A（-1，0），B（3，0）．
故答案為A（-1，0），B（3，0）．
（2）∵二次函數(shù)y=a（x+1）（x-3）頂點(diǎn)為（1，4），
∴4=-4a，
∴a=-1，
∴拋物線為y=-x²+2x+3
∵一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過(guò)A（-1，0）
∴0=-a+b，
∴b=a，
∴一次函數(shù)為：y=-x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={-x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D（4，-5），
∴S_{四邊形ADBM}=S_△ABM+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4×5=18．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a}\\{y=a{x}^{2}-2ax-3a}\end{array}\right.$解得到$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5a}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D（4，5a），
∵頂點(diǎn)M（1，-4a），
∵直線DM與x軸的夾角為45°，
∴-4a-5a=4-1，
∴a=-$\frac{1}{3}$．
（4）過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線AD于點(diǎn)F，設(shè)E（x，ax²-2ax-3a），則F（x，ax+a），EF=ax²-2ax-3a-（ax+a）=ax²-3ax-4a，
∵S_△ACE=S_△AFE-S_△CFE=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）•（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）•x=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}a$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，△ACE面積最大值=-$\frac{25}{8}a$=$\frac{25}{4}$，
∴a=-2，
∴此時(shí)點(diǎn)E（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、三角形面積、四邊形面積等知識(shí)，靈活運(yùn)用函數(shù)與方程的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題比較難，需要有一定的代數(shù)化簡(jiǎn)技巧．