Question

8．已知直線y=x-2t與拋物線y=a（x-t）²+k（a＞0，t≥0，a，t，k為已知數(shù)），在t=2時(shí)，直線剛好經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求k的值．
（2）t由小變大時(shí)，兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變，特別當(dāng)t大于正數(shù)m時(shí)，無論自變量x取何值，y=x-2t的值總小于y=a（x-t）²+k的值，試求a與m的關(guān)系式．
（3）當(dāng)0≤t＜m時(shí)，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，在a為定值時(shí)，線段AB的長度是否存在最大值？若有，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的取值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點(diǎn)式，可以得知拋物線的對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，將t=2代入直線，并將拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，即可求得k的值；
（2）將y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式即可得知t的取值范圍，從而得出m的值；
（3）聯(lián)立（2）中的關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)兩根之差最大時(shí)，線段AB長度最大，從而可得出線段AB的長度最大時(shí)t的值．

解答 解：（1）拋物線y=a（x-t）²+k的對(duì)稱軸為x=t，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，k）．
∵當(dāng)t=2時(shí)，直線y=x-2t=x-4過點(diǎn)（2，k），
∴k=2-4，即k=-2．
（2）將y=x-2t代入y=a（x-t）²-2中，得：
x-2t=a（x-t）²+k，即ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0，
若要y=x-2t的值總小于y=a（x-t）²-2的值，
則有△=（2at+1）²-4a（at²+2t-2）＜0，
即4at＞8a+1，
∵a＞0，
∴t＞2+$\frac{1}{4a}$．
∵當(dāng)t大于正數(shù)m時(shí)，無論自變量x取何值，y=x-2t的值總小于y=a（x-t）²+k的值，
∴m=2+$\frac{1}{4a}$．
（3）過點(diǎn)A做x軸的平行線l，過點(diǎn)B作y軸的平行線交l于點(diǎn)C，則有BC⊥AC，如圖所示，

∵AB=$\frac{AC}{cos∠BAC}$，∠BAC為定值，
∴當(dāng)AC最大時(shí)，AB也最大．
將y=x-2t代入y=a（x-t）²-2中，得：
ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0，
當(dāng)0≤t＜m時(shí)，△＞0，即方程ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0有兩個(gè)不相等的根，
解得x₁=$\frac{2at+1-\sqrt{△}}{2a}$，x₂=$\frac{2at+1+\sqrt{△}}{2a}$，
AC=x₂-x₁=$\frac{\sqrt{△}}{a}$．
∵a為定值，
∴當(dāng)AB最大時(shí)，△=8a+1-4at最大，
由△=8a+1-4at在0≤t＜m內(nèi)的單調(diào)性可知，當(dāng)t=0時(shí)，△最大．
故當(dāng)t=0時(shí)，線段AB的長度最大．
∵直線AB的解析式為y=x-2t，直線AC∥x軸，
∴tan∠BAC=1，
∴∠BAC=45°．
當(dāng)a=0時(shí)，AC=$\frac{\sqrt{△}}{a}$=$\frac{\sqrt{8a+1}}{a}$，AB=$\frac{AC}{sin∠BAC}$=$\frac{\sqrt{16a+2}}{a}$．
故a為定值時(shí)，線段AB的長度存在最大值$\frac{\sqrt{16a+2}}{a}$，此時(shí)t的取值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線解析式；（2）將y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式小于0；（3）將y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到關(guān)于x的一元二次方程，表示出來兩根，找兩根之差最大．