Question

4．如圖，在等腰Rt△ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，連接BO，以AB為斜邊向三角內(nèi)部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，連接EO．求證：
（1）∠OAE=∠OBE；
（2）AE=BE+$\sqrt{2}$OE．

Answer 1

分析 （1）在等腰Rt△ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，求得OB⊥AC，推出A，B，E，O四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）在AE上截取EF=BE，則△EFB是等腰直角三角形，于是得到$\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，∠FBE=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABO=45°，推出△ABF∽△BOE，求得$\frac{AF}{OE}$=$\sqrt{2}$，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）在等腰Rt△ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四點(diǎn)共圓，
∴∠OAE=∠OBE；

（2）在AE上截取EF=BE，則△EFB是等腰直角三角形，
∴$\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=∠OBE，
∵$\frac{AB}{BO}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{BO}=\frac{BF}{BE}$，
∴△ABF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{OE}$=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{2}$OE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=BE+$\sqrt{2}$OE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．