【題目】如圖,拋物線 y=﹣x22x+3 的圖象與 x 軸交于 AB 兩點(點 A 在點 B 的左邊),與 y軸交于點 C,點 D 為拋物線的頂點.

1)求點 A、B、C 的坐標;

2)點 Mm0)為線段 AB 上一點(點 M 不與點 A、B 重合),過點 M x 軸的垂線,與直線 AC 交于點 E,與拋物線交于點 P,過點 P PQAB 交拋物線于點 Q,過點 Q QNx 軸于點 N,可得矩形 PQNM.如圖,點 P 在點 Q 左邊,試用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周長;

3)當矩形 PQNM 的周長最大時,m 的值是多少?并求出此時的△AEM 的面積;

4)在(3)的條件下,當矩形 PMNQ 的周長最大時,連接 DQ,過拋物線上一點 F y 軸的平行線,與直線 AC 交于點 G(點 G 在點 F 的上方).若 FG2DQ,求點 F 的坐標.

【答案】(1)A(﹣3,0),B(1,0);(2)矩形 PMNQ 的周長=﹣2m28m+2;(3)矩形的周長最大時,m=﹣2;△AEM的面積為 ;(4F(﹣4,﹣5)或(1,0).

【解析】

(1)利用函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法,求出點A,B,C的坐標;

(2)先確定出拋物線對稱軸,用m表示出PM,MN即可;

(3)由(2)得到的結(jié)論判斷出矩形周長最大時,確定出m,進而求出直線AC的解析式即可;

(4)在(3)的基礎(chǔ)上,判斷出N應(yīng)與原點重合,Q點與C點重合,求出DQ=DC=2,再建立方程(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4即可.

(1)由拋物線 y=﹣x2﹣2x+3 可知,C(0,3).令 y=0,則 0=﹣x2﹣2x+3,

解得,x=﹣3 xl,

A(﹣3,0),B(1,0).

(2)由拋物線 y=﹣x2﹣2x+3 可知,對稱軸為 x=﹣1.

Mm,0),

PM=﹣m22m+3,MN=(﹣m1)×2=﹣2m2

矩形 PMNQ 的周長=2PM+MN)=(﹣m22m+32m2)×2=﹣2m28m+2

(3)﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10,

矩形的周長最大時,m=﹣2.

A(﹣3,0),C(0,3), 設(shè)直線 AC 的解析式 ykx+b,

解得 kl,b3,

解析式 yx+3, 令 x=﹣2,則 y=1,

E(﹣2,1),

EM1,AM1

SAM×EM,

即△AEM的面積為.

(4)M(﹣2,0),拋物線的對稱軸為 x=﹣l

N 應(yīng)與原點重合,Q 點與 C 點重合,

DQDC

x=﹣1 代入 y=﹣x2﹣2x+3,解得 y=4,

D(﹣1,4),

DQDC

FGDQ,

FG4

設(shè) Fn,﹣n22n+3),則 Gn,n+3),

G 在點 F 的上方且 FG4

n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4. 解得 n=﹣4 或 n=1,

F(﹣4,﹣5)或(1,0).

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x

3

2

1

0

1

2

3

4

5

y

12

5

0

3

4

3

0

5

12

給出了結(jié)論:

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時間(min)

0

5

10

15

20

25

溫度()

10

25

40

55

70

85

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