Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板（△ABC）按如圖所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，1）；
（2）如果拋物線l：y=ax²-ax-2經(jīng)過點(diǎn)B，試求拋物線l的解析式；
（3）把△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁是否在拋物線l上？為什么？
（4）在x軸上方，拋物線l上是否存在一點(diǎn)P，使由點(diǎn)A，C，B，P構(gòu)成的四邊形為中心對(duì)稱圖形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）要求點(diǎn)B坐標(biāo)，首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求出拋物線l的解析式；
（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，過點(diǎn)A₁作x軸的垂線，構(gòu)造全等三角形，求出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可進(jìn)行判斷；
（4）由拋物線的解析式先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的公式列出方程，求解即可．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠COA}\\{∠BCD=∠CAO}\\{CB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；
（2）∵拋物線y=ax²-ax-2過點(diǎn)B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（3）旋轉(zhuǎn)后如圖1所示，過點(diǎn)A₁作A₁M⊥x軸，
∵把△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴∠ABC=∠A₁BC=90°，
∴A₁，B，C共線，
在三角形BDC和三角形A₁CM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠{A}_{1}MC=90°}\\{∠BCD=∠{A}_{1}CM}\\{{A}_{1}C=BC}\end{array}\right.$
∴三角形BDC≌三角形A₁CM
∴CM=CD=3-1=2，A₁M=BD=1，
∴OM=1，
∴點(diǎn)A₁（-1，-1），
把點(diǎn)x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2，
y=-1，
∴點(diǎn)A₁在拋物線上．

                （4）設(shè)點(diǎn)P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2），
點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)B（3，1），
若點(diǎn)P和點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，由中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得：
$\frac{0+3}{2}=\frac{t+1}{2}$，$\frac{2+1}{2}=\frac{0+{\frac{1}{2}t}^{2}-\frac{1}{2}t-2}{2}$，
無解，
若點(diǎn)P和點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，由中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得：
$\frac{1+3}{2}=\frac{0+t}{2}$，$\frac{0+1}{2}=\frac{2+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}t-2}{2}$，
無解，
若點(diǎn)P和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，由中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得：
$\frac{0+1}{2}=\frac{t+3}{2}$，$\frac{2+0}{2}=\frac{1+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}t-2}{2}$，
解得：t=-2，
$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=1
所以：存在，點(diǎn)P（-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，和中心對(duì)稱的性質(zhì)，難度很大，在解題中數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．