Question

11．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象經(jīng)過原點和點A（2，0），直線AB與拋物線交于點B，且∠BAO=45°．
（1）求二次函數(shù)解析式及其頂點C的坐標(biāo)；
（2）在直線AB上是否存在點D，使得△BCD為直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A和點O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b=-2，c=0，從而得到拋物線的解析式，由拋物線的對稱性可知點C的橫坐標(biāo)為1，將x=1代入拋物線的解析式可求得y=-1，故此可求得點C的坐標(biāo)；
（2）由∠BAO=45°可知直線AB的一次項系數(shù)為-1，從而可求得直線AB的解析式為y=-x+2．如圖1所示：當(dāng)∠ADC=90°時．依據(jù)相互垂直的兩直線的一次項系數(shù)之積等于-1可求得直線CD的解析式為y=x-2，將y=-x+2與y=x-2聯(lián)立可求得點D的坐標(biāo)為（2，0）；如圖2所示：當(dāng)∠BCD=90°時．將y=-x+2與y=x²-2x聯(lián)立得求得點B的坐標(biāo)為（-1，3），然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為直線BC的解析式為y=-2x+1，依據(jù)相互垂直的兩直線的一次項系數(shù)之積等于-1可求得直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$，將y=-x+2與y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$聯(lián)立可求得點Q的坐標(biāo)為（$\frac{7}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．

解答 解：（1）將（0，0）、（2，0）代入函數(shù)的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$．
二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x．
∵點（0，0）與（2，0）關(guān)于x=1對稱，
∴拋物線的對稱軸為x=1．
將x=1代入得：y=-1．
∴點C的坐標(biāo)為（1，-1）．
（2）∵∠BAO=45°，
∴直線AB的一次項系數(shù)為-1．
設(shè)直線AB的解析式為y=-x+b，將（2，0）代入得：-2+b=0，
解得：b=2．
∴直線AB的解析式為y=-x+2．
如圖1所示：當(dāng)∠ADC=90°時．

∵∠ADC=90°，
∴CD⊥AB．
∴直線CD與直線AB的一次項系數(shù)的乘以為-1．
∴直線CD的一次項系數(shù)為1．
設(shè)直線CD的解析式為y=x+b．
∵將C（1，-1）代入得：1+b=-1．解得：b=-2，
∴直線CD的解析式為y=x-2．
將y=-x+2與y=x-2聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=x-2}\end{array}\right.$．
解得：x=2，y=0．
∴點D的坐標(biāo)為（2，0）．
如圖2所示：當(dāng)∠BCD=90°時．

∵將y=-x+2與y=x²-2x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點B的坐標(biāo)為（-1，3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將（-1，3）、（1，-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-2x+1．
∵CD⊥BC，
∴直線CD的一次項系數(shù)為$\frac{1}{2}$．
設(shè)直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}x$+c，將點C的坐標(biāo)代入得：$\frac{1}{2}×1+c$=-1．
解得：c=$-\frac{3}{2}$．
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$．
將y=-x+2與y=$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴點Q的坐標(biāo)為（$\frac{7}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
由圖形可知∠CBD=90°的情況不存在．
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（2，0）或（$\frac{7}{3}$，$-\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二函數(shù)的解析式、二元二次方程組和二元一次方程組的應(yīng)用，明確相互垂直的兩直線的一次項系數(shù)之積等于-1是解題的關(guān)鍵．