Question

（1999•廣西）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米．
（1）求證：y=120-x；
（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？
（3）當矩形PQMN的面積最大時，它的長和寬是關于t的一元二次方程t²-10pt+200q=0的兩個根，而p、q的值又恰好分別是a，10，12，13，b這5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求a與b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△APN∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應邊的比等于對應高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面積S=xy，根據(jù)（1）中y與x的函數(shù)關系式，即可得到S與x之間的函數(shù)關系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）把（2）中求得的長于寬的數(shù)值，代入t²-10pt+200q=0即可求得p，q的數(shù)值，根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義即可求得a與b的值．
解答：（1）證明：根據(jù)已知條件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，（1分）
∴△APN∽△ABC．（2分）
從而有（3分）
即
∴y=120-x（4分）

（2）解：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy（5分）
即S=x（120-）（6分）
當x=-=40時，S有最大值為2400 （7分）
此時y==60
∴x=40mm，y=60mm時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米．（8分）

（3）解：由根與系數(shù)的關系，得
解得p=10，q=12（9分）
∵a為10，12，13，b的眾數(shù)為10，
∴有a=10或b=10．（10分）
當a=10時，有=12，
解得b=15
當b=10時，a=15．（11分）
（注：只答a=10，b=15不扣分）
點評：本題主要運用了相似三角形的性質(zhì)，對應邊的比等于對應高的比，同時考查了二次函數(shù)最值的求法，以及眾數(shù)，中位數(shù)的定義．