Question

11．已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸交與點(diǎn)E，已知點(diǎn)B（-1，0）．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)：（1，2$\sqrt{3}$），點(diǎn)E的坐標(biāo)：（0，$\sqrt{3}$）；
（2）若二次函數(shù)y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$x²+bx+c過點(diǎn)A、E，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）P是AC上的一個(gè)動點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）連結(jié)PB、PD，設(shè)l是△PBD的周長，當(dāng)l取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及l(fā)的最小值并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

Answer 1

分析 （1）△ABC是邊長為4的等邊三角形，則BC=4，而點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BD=2，點(diǎn)B（-1，0），則OD=1，就可以求出A的橫坐標(biāo)，等邊三角形的高線長，就是A的縱坐標(biāo)．在直角三角形OBE中，根據(jù)三角函數(shù)可以求出OE的長，即得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（2）已經(jīng)求出A，E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'，連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長L取最小值．根據(jù)三角函數(shù)求的D′的坐標(biāo)，再求出直線BD′的解析式，以及直線AC的解析式，兩直線的交點(diǎn)就是P的坐標(biāo)．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上．

解答 解：（1）連接AD，如圖1，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，又B的坐標(biāo)為（-1，0），BC在x軸上，A在第一象限，
∴點(diǎn)C在x軸的正半軸上，
∴C的坐標(biāo)為（3，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：D的坐標(biāo)為（1，0）．
顯然AD⊥BC且AD=$\sqrt{3}$BD=2$\sqrt{3}$，
∴A的坐標(biāo)是（1，2$\sqrt{3}$）．
OE=$\frac{1}{2}$AD，得E（0，$\sqrt{3}$）；
（2）因?yàn)閽佄锞�y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$x²+bx+c過點(diǎn)A、E，
由待定系數(shù)法得：c=$\sqrt{3}$，b=$\frac{13\sqrt{3}}{7}$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$x²+$\frac{13\sqrt{3}}{7}$x+$\sqrt{3}$；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'，
連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，
即△PBD的周長L取最小值，如圖2．
∵D、D′關(guān)于直線AC對稱，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=$\sqrt{3}$，DD'=2$\sqrt{3}$，
求得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，$\sqrt{3}$），
直線BD'的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
直線AC的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
求直線BD'與AC的交點(diǎn)可，得
點(diǎn)P的坐標(biāo)（$\frac{7}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
此時(shí)BD'=$\sqrt{B{G}^{2}+D′{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
所以△PBD的最小周長L為2$\sqrt{7}$+2，
把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=-$\frac{6\sqrt{3}}{7}$+$\frac{13\sqrt{3}}{7}$x+$\sqrt{3}$成立，
所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求兩條線段的和最小的問題，一般是轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題．