Question

8．如圖，四邊形ABCD和AEGF都是菱形，∠A=60°，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD邊上（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)△GBC為等腰三角形時(shí)，AF的長(zhǎng)為3-$\sqrt{3}$或2．

Answer 1

分析 分兩種情形：①如圖1中，當(dāng)CB=CG時(shí)，連接BD交AC于點(diǎn)O，②如圖2中，當(dāng)GC=GB時(shí)，作GM⊥BC于M，先證明AC=$\sqrt{3}$AD，AG=$\sqrt{3}$AF，求出AG即可解決問(wèn)題．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)CB=CG時(shí)，連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3，AO=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，AC=$\sqrt{3}$AD，同理AG=$\sqrt{3}$AF，
∴AC=3$\sqrt{3}$，AG=AC-CG=3$\sqrt{3}$-3，
∴3$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$AF，
∴AF=3-$\sqrt{3}$．
②如圖2中，當(dāng)GC=GB時(shí)，作GM⊥BC于M，
在RT△GCM中，∵∠GMC=90°，CM=BM=$\frac{3}{2}$，∠GCM=30°
∴CG=$\frac{CM}{cos30°}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AG=AC-CG=2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$AF，
∴AF=2．
故答案為3-$\sqrt{3}$或2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，屬于中考�？碱}型．