問題提出:用n根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?
問題探究:不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形,為探究m與n之間的關(guān)系,我們可以從特殊入手,通過試驗、觀察、類比,最后歸納、猜測得出結(jié)論.
探究一:
(1)用3根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
此時,顯然能搭成一種等腰三角形.所以,當n=3時,m=1
(2)用4根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況,不能搭成三角形,所以,當n=4時,m=0
(3)用5根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒,則能搭成一種等腰三角形,所以,當n=5時,m=1
(4)用6根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒,則能搭成一種等腰三角形,所以,當n=6時,m=1
綜上所述,可得表①
n | 3 | 4 | 5 | 6 |
m | 1 | 0 | 1 | 1 |
探究二:
(1)用7根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的等腰三角形?
(仿照上述探究方法,寫出解答過程,并把結(jié)果填在表②中)
(2)分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形,能搭成多少種不同的等腰三
角形?(只需把結(jié)果填在表②中)
n | 7 | 8 | 9 | 10 |
m |
你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究,…
解決問題:用n根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?
(設(shè)n分別等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2,其中k是整數(shù),把結(jié)果填在表 ③中)
n | 4k﹣1 | 4k | 4k+1 | 4k+2 |
m |
問題應(yīng)用:用2016根相同的木棒搭一個三角形(木棒無剩余),能搭成多少種不同的等腰三角形?(要求寫出解答過程)
其中面積最大的等腰三角形每個腰用了__________根木棒.(只填結(jié)果)
【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖;等腰三角形的判定與性質(zhì).
【分析】探究二:
(1)周長為7,讓腰長從1開始逐個驗證即可;
(2)周長為8、9、10,方法同上;
解決問題:
問題的本質(zhì)是,給定三角形的周長n,且n=2a+b,求滿足要求的a的整數(shù)解的個數(shù)m.因此,根據(jù)三角形三邊關(guān)系,我們將a的取值范圍用n表示出來,從而就可以確定n在取任意值時,a的整數(shù)解個數(shù)m;
任意一個整數(shù),均可以表示成4k﹣1,4k,4k+1,4k+2四種形式當中的一種,讓n取這四種值,得出m的值填表;
問題應(yīng)用:
(1)根據(jù)上面探究得出的一般結(jié)論,只需看2016符號哪種情況即可.n=2016=504×4,m=504﹣1=503;
(3)周長相同的情況下,等邊三角形面積最大;
【解答】解:探究二:
(1)7=1+1+5(舍去);
7=2+2+3(符合要求);
7=3+3+1(符合要求);
(2)8=1+1+6(舍去);
8=2+2+4(舍去);
8=3+3+2(符合要求);
9=1+1+7(舍去);
9=2+2+5(舍去);
9=3+3+3(符合要求);
9=4+4+1(符合要求);
10=1+1+8(舍去);
10=2+2+6(舍去);
10=3+3+4(符合要求);
10=4+4+2(符合要求);
填表如下:
n | 7 | 8 | 9 | 10 |
m | 2 | 1 | 2 | 2 |
解決問題:
令n=a+a+b=2a+b,
則:b=n﹣2a,
根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可知:
2a>b且b>0,
∴,
解得:,
若n=4k﹣1,則,a的整數(shù)解有k個;
若n=4k,則k<a<2k,a的整數(shù)解有k﹣1個;
若n=4k+1,則,a的整數(shù)解有k個;
若n=4k+2,則,a的整數(shù)解有k個;
填表如下:
n | 4k﹣1 | 4k | 4k+1 | 4k+2 |
m | k | k﹣1 | k | k |
問題應(yīng)用:
(1)∵2016=4×504,
∴k=504,
則可以搭成k﹣1=503個不同的等腰三角形;
(2)當?shù)妊切问堑冗吶切螘r,面積最大,
∴2016÷3=672.
【點評】本題以一種探究的方式考查了腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、整數(shù)解問題,命題新穎,視角獨特,是一道經(jīng)典好題.探究過程中,體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想.掌握好等腰三角形性的基本性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,寫出△ABC的各頂點坐標,并畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,寫出△ABC關(guān)于X軸對稱的△A2B2C2的各點坐標.
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