Question

問題提出：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

問題探究：不妨假設(shè)能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關(guān)系，我們可以從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結(jié)論．

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

此時，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當n=3時，m=1

（2）用4根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當n=4時，m=0

（3）用5根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形

若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=5時，m=1

（4）用6根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形

若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=6時，m=1

綜上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并把結(jié)果填在表②中）

（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三

角形？（只需把結(jié)果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究，…

解決問題：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

（設(shè)n分別等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整數(shù)，把結(jié)果填在表 ③中）

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m

問題應(yīng)用：用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫出解答過程）

其中面積最大的等腰三角形每個腰用了__________根木棒．（只填結(jié)果）

Answer 1

【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】探究二：

（1）周長為7，讓腰長從1開始逐個驗證即可；

（2）周長為8、9、10，方法同上；

解決問題：

問題的本質(zhì)是，給定三角形的周長n，且n=2a+b，求滿足要求的a的整數(shù)解的個數(shù)m．因此，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，我們將a的取值范圍用n表示出來，從而就可以確定n在取任意值時，a的整數(shù)解個數(shù)m；

任意一個整數(shù)，均可以表示成4k﹣1，4k，4k+1，4k+2四種形式當中的一種，讓n取這四種值，得出m的值填表；

問題應(yīng)用：

（1）根據(jù)上面探究得出的一般結(jié)論，只需看2016符號哪種情況即可．n=2016=504×4，m=504﹣1=503；

（3）周長相同的情況下，等邊三角形面積最大；

【解答】解：探究二：

（1）7=1+1+5（舍去）；

7=2+2+3（符合要求）；

7=3+3+1（符合要求）；

（2）8=1+1+6（舍去）；

8=2+2+4（舍去）；

8=3+3+2（符合要求）；

9=1+1+7（舍去）；

9=2+2+5（舍去）；

9=3+3+3（符合要求）；

9=4+4+1（符合要求）；

10=1+1+8（舍去）；

10=2+2+6（舍去）；

10=3+3+4（符合要求）；

10=4+4+2（符合要求）；

填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解決問題：

令n=a+a+b=2a+b，

則：b=n﹣2a，

根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可知：

2a＞b且b＞0，

∴，

解得：，

若n=4k﹣1，則，a的整數(shù)解有k個；

若n=4k，則k＜a＜2k，a的整數(shù)解有k﹣1個；

若n=4k+1，則，a的整數(shù)解有k個；

若n=4k+2，則，a的整數(shù)解有k個；

填表如下：

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k﹣1	k	k

問題應(yīng)用：

（1）∵2016=4×504，

∴k=504，

則可以搭成k﹣1=503個不同的等腰三角形； 

（2）當?shù)妊�三角形是等邊三角形時，面積最大，

∴2016÷3=672．

【點評】本題以一種探究的方式考查了腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、整數(shù)解問題，命題新穎，視角獨特，是一道經(jīng)典好題．探究過程中，體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想．掌握好等腰三角形性的基本性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．