Question

【題目】如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字從最高位到個位依次排出一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做 “和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是：6、4、7、4、6，從個位到最高排出的一串數(shù)字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”．

（1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；[來。

（2） 已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個位上的數(shù)字為x（，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】見解析，能被11整除；y=2x（1≤x≤4）

【解析】試題分析：根據(jù)“和諧數(shù)”的定義寫出數(shù)字，然后設(shè)“和諧數(shù)”的形式為abcd，則根據(jù)題意得出a=d，b=c，然后將這個四位數(shù)除以11，將其化成代數(shù)式的形式，用a和b來表示c和d，然后得出答案，進行說明能被11整除；首先設(shè)三位“和諧數(shù)”為zyx，根據(jù)定義得出x=z，然后根據(jù)同上的方法進行計算．

試題解析：⑴、四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）

任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下：

設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為： ，則滿足：

最高位到個位排列： 個位到最高位排列：

由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：

則

∴ 四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù) 又∵為任意自然數(shù)，

∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除

⑵、設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為： ，則滿足：個位到最高位排列：

最高位到個位排列： 由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則： 故

為正整數(shù) ∴