Question

如圖，⊙O中半徑OA=2，∠AOB=60°，P為上的點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
（1）若P是的中點(diǎn)，求MN的長；
（2）若點(diǎn)P不是的中點(diǎn)，則MN的長度是否發(fā)生變化？請說明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的長．（不用證明）

Answer 1

解：（1）連接OP，
∵P為中點(diǎn)
∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP==，
∴OM=
同理ON=
∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN為等邊三角形
∴MN=；

（2）長度不變．
設(shè)Pn為中點(diǎn)，垂足為Mn，Nn分別延長PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F(xiàn)，
En，F(xiàn)n由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分別為△PEF，△PnEnFn的中位線
∴MN=EF，MnNn=EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P點(diǎn)取上任一點(diǎn)時(shí)MN長度不變，包括P點(diǎn)與A，B重合時(shí)，
故當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
讓點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
PN=•2=當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
MN=．
分析：（1）P是弧AB的中點(diǎn)，那么可連接OP，根據(jù)垂徑定理即可得出OP⊥MN，∠MOP=30°，根據(jù)OP⊥MN構(gòu)建的直角三角形和∠MOP的度數(shù)，半徑的長已知，即可求出MN的值．
（2）如果P不是弧AB的中點(diǎn)，可作出（1）中的情況，然后找中間值進(jìn)行比較，找出弧AB的中點(diǎn)Pn，過Pn作Pn⊥OA于Mn，Pn⊥OB于Nn．由于過P和Pn的線段都垂直于半徑，那么可聯(lián)系中位線的知識進(jìn)行求解，可延長這些線段，通過構(gòu)建三角形，通過證這兩個三角形的底邊相等來得出它們的中位線相等進(jìn)而得出P是弧AB的中點(diǎn)是，MN的長度不變．
（3）由于P在任何位置MN的長度都不變，如果讓A點(diǎn)與P點(diǎn)重合，那么∠AOB=45°，此時(shí)可在直角三角形OPN中，根據(jù)∠AOB的度數(shù)和半徑的長來求出MN的值．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理以及中位線的應(yīng)用等知識點(diǎn)，要注意（2）中輔助線的作法，根據(jù)題中的條件構(gòu)建出和所求的條件相關(guān)的三角形是解題的關(guān)鍵．