Question

如圖3­4­16，在平面直角坐標系中，頂點為(3,4)的拋物線交y軸于A點，交x軸與B，C兩點(點B在點C的左側)，已知A點坐標為(0，－5)．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系，并給出證明；

(3)在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

圖3­4­16

Answer 1

解：(1)設此拋物線的解析式為y＝a(x－3)²＋4，

此拋物線過點A(0，－5)，

∴－5＝a(0－3)²＋4，∴a＝－1.

∴拋物線的解析式為y＝－(x－3)²＋4，

即y＝－x²＋6x－5.

(2)拋物線的對稱軸與⊙C相離．

證明：令y＝0，即－x²＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

∴B(1,0)，C(5,0)．

設切點為E，連接CE，

由題意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴＝，即＝，

解得CE＝.

∵以點C為圓心的圓與直線BD相切，⊙C的半徑為r＝d＝.

又點C到拋物線對稱軸的距離為5－3＝2，而2>.

則此時拋物線的對稱軸與⊙C相離．

(3)假設存在滿足條件的點P(x_p，y_p)，

∵A(0，－5)，C(5,0)，

∴AC²＝50，

AP²＝(x_p－0)²＋(y_p＋5)²＝x＋y＋10y_p＋25，CP²＝(x_p－5)²＋(y_p－0)²＝x＋y－10x_p＋25.

①當∠A＝90°時，在Rt△CAP中，

由勾股定理，得AC²＋AP²＝CP²，

∴50＋x＋y＋10y_p＋25＝x＋y－10x_p＋25，

整理，得x_p＋y_p＋5＝0.

∵點P(x_p，y_p)在拋物線y＝－x²＋6x－5上，

∴y_p＝－x＋6x_p－5.

∴x_p＋(－x＋6x_p－5)＋5＝0，

解得x_p＝7或x_p＝0，∴y_p＝－12或y_p＝－5.

∴點P為(7，－12)或(0，－5)(舍去)．

②當∠C＝90°時，在Rt△ACP中，

由勾股定理，得AC²＋CP²＝AP²，

∴50＋x＋y－10x_p＋25＝x＋y＋10y_p＋25，

整理，得x_p＋y_p－5＝0.

∵點P(x_p，y_p)在拋物線y＝－x²＋6x－5上，

∴y_p＝－x＋6x_p－5，

∴x_p＋(－x＋6x_p－5)－5＝0，

解得x_p＝2或x_p＝5，∴y_p＝3或y_p＝0.

∴點P為(2,3)或(5,0)(舍去)

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(7，－12)或(2,3)．