Question

2．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的頂點A的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（2，2），點P在射線OA上沿OA方向以2個單位長度/s的速度向右運動，點Q在線段AB上沿AB方向以$\sqrt{2}$個單位長度/s的速度從點A向點B運動，設(shè)點Q運動的時間為t s（0≤t≤2），射線PQ交射線CB于點D，連接CP．
（1）求出過O、A、B三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜t＜1時，求出△PAQ的面積 S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t取何值時，S有最大值；
（3）在點P運動的過程中，∠CPD是一個定值，這個定值是45°；并求出當(dāng)△PCD為等腰三角形時t的值；
（4）當(dāng)1≤t≤2時，線段DP的中點M運動的總路程為1．

Answer 1

分析 （1）由題意A（2，0），C（2，2），B（4，2），設(shè)過O、A、B三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-2），代入點B即可求出a．
（2）s=$\frac{1}{2}$•PA•QM，用t表示PA、QM代入即可．
（3）猜想是特殊角45°，由∠CPD+∠DPM=∠COP+∠OCP可知，只要證明∠OCP=∠DPM，即△PCN∽△QPM即可．
（4）觀察可知點M運動路徑是線段，軌跡三角形中位線定理即可解決．

解答 解：（1）如圖1中，由題意A（2，0），C（2，2），B（4，2），
設(shè)過O、A、B三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-2），點B代入得到a=$\frac{1}{4}$，
∴過O、A、B三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x．
（2）如圖1，作QM⊥x軸垂足為M，
∵AO=OC，∠OAC=90°，
∴∠COA=45°，
∵OC∥AB，
∴∠BAM=∠COA=45°，
∵AQ=$\sqrt{2}$t，
∴AM=QM=t，
∴0＜t＜1時，求出△PAQ的面積 S=$\frac{1}{2}$•PA•QM=$\frac{1}{2}$•（2-2t）•t=-t²+t．
（3）如圖1中，作PN⊥OC垂足為N，
∵∠PON=45°，OP=2t，
∴ON=PN=$\sqrt{2}$t，NC=2-$\sqrt{2}$t，
∵$\frac{NC}{PM}$=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{2-2t+t}$=$\sqrt{2}$，$\frac{PN}{QM}=\frac{\sqrt{2}t}{t}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{NC}{PM}=\frac{PN}{QM}$，∵∠PNC=∠PMQ=90°，
∴△PCN∽△QPM，
∴∠NCP=∠QPM，
∵∠CPM=∠COP+∠NCP=∠CPD+∠QPM，
∴∠CPD=45°．
故答案為45°．
①當(dāng)OP=OA時△PCD是等腰三角形，此時：2t=2，t=1．
②當(dāng)OP=OC時△PCD是等腰三角形，此時2t=2$\sqrt{2}$，t=$\sqrt{2}$．
③當(dāng)OP=2OA時△PCD是等腰三角形，此時2t=4，t=2．
綜上所述：t=1s或$\sqrt{2}$s或2s時，△PCD是等腰三角形．
（4）如圖2中，點M運動的軌跡是線段M₁M₂，
∵AM₁=BM₁，PM₂=BM₂，
∴M₁M₂=$\frac{1}{2}$AP=1．
故答案為1．

點評 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，學(xué)會猜想，分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵．