Question

求數(shù)2003^20022001的末三位數(shù)字．

Answer 1

解：因為2003≡3（bmod1000），所以2003^20022001≡3^20022001（bmod1000）．
為解決這個問題，我們首先確定一個正整數(shù)n使3ⁿ≡1（bmod1000）．
由二項式定理，得．
上式中前三項后的各項之和能被1000整除．于是設m=2q，則3^4q≡1-20q+100q（2q-1）≡（bmod1000）．①
由1-20q+100q（2q-1）=1000k+1，5q²-3q-25k=0，由十字相乘法易得q=25滿足．從而3¹⁰⁰≡1（bmod1000）．
而2002≡2（bmod100），故2002²⁰⁰¹≡2²⁰⁰¹（bmod100）≡2²•2¹⁹⁹⁹（bmod4•25）．
因為2¹⁰=1024≡-1（bmod25），所以2¹⁹⁹⁹=（2¹⁰）¹⁹⁹•2⁹≡（-1）¹⁹⁹•512≡-12≡13（bmod25）．
于是2002²⁰⁰¹≡2²⁰⁰¹≡4•13=52（bmod100），
再由①，得2003^20022001≡3^20022001≡3^100k+52≡3⁵²≡1-20•13+1300•25≡241（bmod1000）．
因此數(shù)2003^20022001的末三位數(shù)字是241．
分析：可將求數(shù)2003^20022001的末三位數(shù)字轉(zhuǎn)化為求數(shù)3^20022001的末三位數(shù)字的問題，得2003^20022001≡3^20022001≡3^100k+52≡3⁵²≡1-20•13+1300•25≡241（bmod1000）．從而得出結(jié)論．
點評：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，將數(shù)2003^20022001的末三位數(shù)字轉(zhuǎn)化為求數(shù)3^20022001的末三位數(shù)字是解題的關(guān)鍵，有一定的難度，該題超過大綱的范圍．