Question

【題目】如圖1，四邊形是正方形，且，點(diǎn)與重合，以為圓心，作半徑長為5的半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn).

發(fā)現(xiàn)是半圓上任意一點(diǎn)，連接，則的最大值為______；

思考如圖2，將半圓繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為

（1）當(dāng)時，求半圓落在正方形內(nèi)部的弧長；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓與正方形的邊相切時，請直接寫出此時點(diǎn)到切點(diǎn)的距離.（注：,,）

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)： 13；思考：（1）；（2）點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離為3或或．

【解析】

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時，AM的值最大，據(jù)此求解即可；

思考：（1）設(shè)半圓O交AD于點(diǎn)N，連接ON，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H．先證明四邊形HAFO是矩形，從而AH∥OF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可出∠NOF和∠HNO的值，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；

（2）分三種情況求解，①半圓O與AB相切時，②半圓O與CD相切時，③當(dāng)半圓O與AD相切時.

解：發(fā)現(xiàn) 當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時，AM的值最大，最大值為8＋5＝13．

思考 （1）如圖①，設(shè)半圓O交AD于點(diǎn)N，連接ON，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°．

∵半圓O繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠OFA＝90°．

∴四邊形HAFO是矩形．

∴AH＝OF，OH＝AF＝AB－BF＝3， AH∥OF．

∴sin∠HNO＝＝． ∴∠HNO＝37°．

∴∠NOF＝∠HNO＝37°．

∴半圓O落在正方形內(nèi)部的弧NF的長＝；

（2）點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離為3或或 ．

∵由（1）知，當(dāng)α＝90°時，半圓O與AB相切，此時切點(diǎn)為點(diǎn)F，

∴AF＝3；

如圖②，當(dāng)半圓O與CD相切時，設(shè)切點(diǎn)為R，連接OR，AR，并延長RO交AB于點(diǎn)T，

∴∠ORC＝90°．

∵DC∥AB，

∴∠OTF＝90°．

∴四邊形RCBT是矩形．

∴RT＝CB＝8．

∴OT＝8－5＝3．

∴FT＝＝4， AT＝AB－BT＝AB－（BF－FT）＝7．

∴AR＝=；

∴如圖③，當(dāng)半圓O與AD相切時，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，過點(diǎn)F作FS⊥PO于點(diǎn)S，易得四邊形PAFS是矩形，

∴PS＝AF＝3， AP＝SF．

∴SO＝PO－PS＝53＝2．

∴SF＝=．

∴AP＝SF＝．

綜上，點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離為3或或．