Question

15．如圖，已知直線y=$\frac{2}{5}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax²+4ax+b經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另-點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式：
（2）點(diǎn)Q在拋物線上，且S_△AQC=S_△BQC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）①分點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，根據(jù)平行線間的距離相等可得當(dāng)CQ∥AB時(shí)，△AQC和△BQC面積相等，然后根據(jù)點(diǎn)Q與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，利用拋物線解析式列式計(jì)算即可得解；②點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，設(shè)CQ與x軸相交于點(diǎn)D，根據(jù)△AQC和△BQC面積相等可知AD=BD，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵當(dāng)y=0時(shí)，則有$\frac{2}{5}$x+2=0，解得x=-5，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），
∵當(dāng)x=0時(shí)，則有y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵拋物線y=ax²+4ax+b經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，把（0，2）（-5，0）代入得
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{25a-20a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2．
（2）①當(dāng)Q在x軸上方時(shí)（如圖1），
△ACQ和△BCQ同底，若它們的面積相等，則A、B到直線CQ的距離相等，即CQ∥AB；
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-4，2）；
②當(dāng)Q在x軸下方時(shí)（如圖2），
，設(shè)CQ與x軸交于點(diǎn)D，若△AQC和△BQC面積相等，則有AD=BD
令y=0，則-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2=0，解得x₁=-5，x₂=1，即AB=6
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0）
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把（0，2）（-2，0）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直線CD的解析式為y=x+2，
∵點(diǎn)Q在直線CD與拋物線上，
∴x+2=-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2，解得x₁=0，x₂=-$\frac{13}{2}$，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-$\frac{13}{2}$，-$\frac{9}{2}$）；
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，2）或（-$\frac{13}{2}$，-$\frac{9}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是分類討論點(diǎn)Q在拋物線上的不同位置，結(jié)合形成的三角形分析面積相等需具備的條件，數(shù)形結(jié)合思想在這里得到充分體現(xiàn)．