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13.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,且OA=2,OC=1,矩形對角線AC、OB相交于E,過點(diǎn)E的直線與邊OA、BC分別相交于點(diǎn)G、H,以O(shè)為圓心,OC為半徑的圓弧交OA于D,若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點(diǎn)F,則下列結(jié)論:①AG=CH;②GH=53;③直線GH的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-34x+54;④梯形ABHG的內(nèi)部有一點(diǎn)P,當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時,⊙P的半徑為14.其中正確的有(  )
A.1個B.2個C.3個D.4個

分析 ①根據(jù)矩形性質(zhì)得到OE=BE,BC∥OA,OA=BC,從判斷出△BHE≌△OGE,即可;
②根據(jù)矩形的對角線互相平分和圓的切線的性質(zhì)表示出Rt△MHE中的兩邊,已知一邊,從而求出圖形中相關(guān)的線段,得到點(diǎn)H,G的坐標(biāo),求GH的長,
③由②中得到的點(diǎn)H,G的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線解析式,
④利用全等三角形,角平分線及圓的切線的性質(zhì)構(gòu)造出相似三角形,得出比例式,求出圓的半徑.

解答 解:①∵四邊形OABC是矩形,
∴OE=BE,BC∥OA,OA=BC,
∴∠HBE=∠GOE,
∵在△BHE和△OGE中,∠HBE=∠GOE,OE=BE,∠HEB=∠GEO,
∴△BHE≌△OGE(ASA),
∴BH=OG,
∴AG=CH.

②如圖1,連接DE并延長DE交CB于M,連接AC,則由矩形的性質(zhì),點(diǎn)E在AC上.
∵DD=OC=1=12OA,
∴D是OA的中點(diǎn),
∵在△CME和△ADE中,
∠MCE=∠DAE,CE=AE,∠MEC=∠DEA,
∴△CME≌△ADE(ASA),
∴CM=AD=2-1=1,
∵BC∥OA,∠COD=90°,
∴四邊形CMDO是矩形,
∴MD⊥OD,MD⊥CB,
∴MD切⊙O于D,
∵HG切⊙O于F,E(1,12),
∴可設(shè)CH=HF=x,F(xiàn)E=ED=12=ME,
在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2,
即(1-x)2+(122=(12+x)2,解得x=13
∴H(13,1),OG=2-13=53
∴G(53,0).

∴GH2=(53-132+(0-1)2=259

∴GH=53
③設(shè)直線GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐標(biāo)代入得{53k+b=013k+b=1,解得:{k=34b=54
∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y=-34x+54,

④如圖2,連接BG,
∵在△OCH和△BAG中,
CH=AG,∠HCO=∠GAB,OC=AB,
∴△OCH≌△BAG(SAS).
∴∠CHO=∠AGB.
∵∠HCO=90°,
∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F.
∴OH平分∠CHF.
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA.
∵△CHE≌△AGE,
∴HE=GE.
∵在△HOE和△GBE中,HE=GE,∠HEO=∠GEB,OE=BE,
∴△HOE≌△GBE(SAS).
∴∠OHE=∠BGE.
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∴∠BGA=∠BGE,即BG平分∠FGA.
∵⊙P與HG、GA、AB都相切,
∴圓心P必在BG上.
過P做PN⊥GA,垂足為N,則△GPN∽△GBA.
PNAB=GNAG,
設(shè)半徑為r,則 r1=13r13,解得r=14
故選D.

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題,主要考查了圓中切線的性質(zhì)和判定,涉及的知識點(diǎn)比較多,如相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)等,解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形和相似三角形,難點(diǎn)是不容易找出求⊙P的半徑時的三對全等三角形.

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