Question

4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD．
（1）求證：BE=CE；
（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若BC=AD=8，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）四邊形BFCD的形狀是菱形，首先證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結(jié)論；
（3）設(shè)DE=x，則根據(jù)CE²=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD即可．

解答 （1）證明：∵AD是直徑，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）四邊形BFCD是菱形．理由如下：
證明：∵AD是直徑，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠DBE}\\{BE=BE}\\{∠BED=∠CEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四邊形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE²=DE•AE，
設(shè)DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴4²=x（10-x），
解得：x=4，
在Rt△CED中，
CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．