Question

如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點A（3，6）．
（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；
（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù)A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度；
（2）如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H，構造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉化為相似三角形的相似比，即為定值．需要注意討論點的位置不同時，這個結論依然成立；
（3）由已知條件角的相等關系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．設OE=a，則由相似邊的比例關系可以得到m關于x的表達式m=-a²+a（0＜a＜3），這是一個二次函數(shù)．借助此二次函數(shù)圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時，a的取值（即OE的長度，或E點的位置）有1個或2個．這樣就將所求解的問題轉化為分析二次函數(shù)的圖象與性質問題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度．如答圖2，可以通過構造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質求得AB的長度．
解答：解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．（2分）
OA=．…（3分）

（2）是一個定值，理由如下：
如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H．
①當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，
此時；
②當QH與QM不重合時，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…（5分），
∴，
當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得． …（7分）①①

（3）如答圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴，
∴OF=，
∴點F（，0），
設點B（x，），
過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF，
∴，
即，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴點B（6，2），
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
∴AB=5         …（8分）；
（求AB也可采用下面的方法）
設直線AF為y=kx+b（k≠0）把點A（3，6），點F（，0）代入得
k=，b=10，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴B（6，2），
∴AB=5…（8分）
（其它方法求出AB的長酌情給分）
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．…（9分）
設OE=a，則AE=-a（0＜a＜3），
由△ABE∽△OED得，
∴=，
∴m=a（3-a）=-a²+a（0＜a＜3），
∴頂點為（，）
如答圖3，當時，OE=a=，此時E點有1個；
當時，任取一個m的值都對應著兩個a值，此時E點有2個．
∴當時，E點只有1個…（11分）
當時，E點有2個…（12分）．
點評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關知識，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點．解題的難點在于轉化思想的運用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉化，要求同學們能夠將所求解的問題轉化為常見的數(shù)學問題，利用自己所熟悉的數(shù)學知識去解決問題，否則解題時將不知道從何下手而導致失分．