如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=交于點A(3,6).
(1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長度;
(2)點P為拋物線第一象限內的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?

【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式,根據(jù)A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度;
(2)如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H,構造相似三角形△QHM與△QGN,將線段QM與線段QN的長度之比轉化為相似三角形的相似比,即為定值.需要注意討論點的位置不同時,這個結論依然成立;
(3)由已知條件角的相等關系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED.設OE=a,則由相似邊的比例關系可以得到m關于x的表達式m=-a2+a(0<a<3),這是一個二次函數(shù).借助此二次函數(shù)圖象(如答圖3),可見m在不同取值范圍時,a的取值(即OE的長度,或E點的位置)有1個或2個.這樣就將所求解的問題轉化為分析二次函數(shù)的圖象與性質問題.
另外,在相似三角形△ABE與△OED中,運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度.如答圖2,可以通過構造相似三角形,或者利用一次函數(shù)(直線)的性質求得AB的長度.
解答:解:(1)把點A(3,6)代入y=kx 得;
∵6=3k,
∴k=2,
∴y=2x.(2分)
OA=.…(3分)

(2)是一個定值,理由如下:
如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H.
①當QH與QM重合時,顯然QG與QN重合,
此時;
②當QH與QM不重合時,
∵QN⊥QM,QG⊥QH
不妨設點H,G分別在x、y軸的正半軸上,
∴∠MQH=∠GQN,
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…(5分),
,
當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時,同理可得. …(7分)①①

(3)如答圖2,延長AB交x軸于點F,過點F作FC⊥OA于點C,過點A作AR⊥x軸于點R
∵∠AOD=∠BAE,
∴AF=OF,
∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC,
,
∴OF=,
∴點F(,0),
設點B(x,),
過點B作BK⊥AR于點K,則△AKB∽△ARF,
,

解得x1=6,x2=3(舍去),
∴點B(6,2),
∴BK=6-3=3,AK=6-2=4,
∴AB=5         …(8分);
(求AB也可采用下面的方法)
設直線AF為y=kx+b(k≠0)把點A(3,6),點F(,0)代入得
k=,b=10,

,
(舍去),,
∴B(6,2),
∴AB=5…(8分)
(其它方法求出AB的長酌情給分)
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED,
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB,
∴∠ABE=∠DEO,
∵∠BAE=∠EOD,
∴△ABE∽△OED.…(9分)
設OE=a,則AE=-a(0<a<3),
由△ABE∽△OED得
=,
∴m=a(3-a)=-a2+a(0<a<3),
∴頂點為(,
如答圖3,當時,OE=a=,此時E點有1個;
時,任取一個m的值都對應著兩個a值,此時E點有2個.
∴當時,E點只有1個…(11分)
時,E點有2個…(12分).
點評:本題是中考壓軸題,難度較大,解題核心是相似三角形與拋物線的相關知識,另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點.解題的難點在于轉化思想的運用,本題第(2),(3)問都涉及到了問題的轉化,要求同學們能夠將所求解的問題轉化為常見的數(shù)學問題,利用自己所熟悉的數(shù)學知識去解決問題,否則解題時將不知道從何下手而導致失分.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖1,已知直線:y=
3
3
x+
3
與直角坐標系xOy的x軸交于點A,與y軸交于點B,點M為x軸正半軸上一點,以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于B點,交x軸于C、D兩點,與y軸交于另一點E.
(1)求圓心M的坐標;
(2)如圖2,連接BM延長交⊙M于F,點N為
CF
上任一點,連DN交BF于Q,連FN并延長交x軸于點P.則CP與MQ有何數(shù)量關系?證明你的結論;
(3)如圖3,連接BM延長交⊙M于F,點N為
CF
上一動點,NH⊥x軸于H,NG⊥BF于G,連接GH,當N點運動時,下列兩個結論:①NG+NH為定值;②GH的長度不變;其中只有一個是正確的,請你選擇正確的結論加以證明,并求出其值?精英家教網

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如圖1,已知直線l的解析式為y=
43
x+4
,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點.點C從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位的速度向點A勻速運動;點D從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,點C、D同時出發(fā),當點C到達點A時同時停止運動.伴隨著C、D的運動,EF始終保持垂直平分CD,垂足為E,且EF交折線AB-BO-AO于點F.
(1)直接寫出A、B兩點的坐標;
(2)設點C、D的運動時間是t秒(t>0).
①用含t的代數(shù)式分別表示線段AD和AC的長度;
②在點F運動的過程中,四邊形BDEF能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請說明理由.(可利用備用圖解題)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=-
4
27
x2+
22
3
交于點A(3,6).
(1)求k的值;
(2)點P為拋物線第一象限內的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

根據(jù)題意,解答問題:

(1)如圖1,已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,求線段AB的長.
(2)如圖2,類比(1)的解題過程,請你通過構造直角三角形的方法,求出點M(3,4)與點N(-2,-1)之間的距離.
(3)在(2)的基礎上,若有一點D在x軸上運動,當滿足DM=DN時,請求出此時點D的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

完成下面證明:

(1)如圖1,已知直線b∥c,a⊥c,求證:a⊥b
證明:∵a⊥c  (已知)
∴∠1=
∠2
∠2
(垂直定義)
∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2  (
兩直線平行,同位角相等
兩直線平行,同位角相等

∴∠2=∠1=90° (
等量代換
等量代換

∴a⊥b      (
垂直的定義
垂直的定義

(2)如圖2:AB∥CD,∠B+∠D=180°,求證:CB∥DE
證明:∵AB∥CD (已知)
∴∠B=
∠C
∠C
兩直線平行,內錯角相等
兩直線平行,內錯角相等

∵∠B+∠D=180° (已知)
∴∠C+∠D=180° (
等量代換
等量代換

∴CB∥DE   (
同旁內角互補,兩直線平行
同旁內角互補,兩直線平行

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