Question

如圖，經(jīng)過點A(0，－4)的拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸相交于點B(－0，0)和C，O為坐標原點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)將拋物線y＝x²＋bx＋c向上平移個單位長度、再向左平移m(m＞0)個單位長度，得到新拋物
線．若新拋物線的頂點P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
(3)設(shè)點M在y軸上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的長．

Answer 1

解：（1）將A（0，－4）、B（－2，0）代入拋物線y=x²+bx+c中，得：
，解得，。
∴拋物線的解析式：y=x²－x－4。
（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：，
即：。它的頂點坐標P（1－m，－1）。
由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）。
∴直線AB：y=－2x-4；直線AC：y=x－4。
當點P在直線AB上時，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；
當點P在直線AC上時，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；
又∵m＞0，
∴當點P在△ABC內(nèi)時，0＜m＜ 。
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。
如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°。

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠ONB=∠OMB。
如圖，在△ABN、△AM₁B中，
∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；
由勾股定理，得AB²=（－2）²+4²=20，
又AN=OA－ON=4－2=2，
∴AM₁=20÷2=10，OM₁=AM₁－OA=10－4=6。
而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂－OA=6－4=2。
綜上，AM的長為6或2。

解析