Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）△ABE與△ADF相似嗎？說明理由．
（2）△AEF與△ABC相似嗎？說說你的理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,平行四邊形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠B=∠D，再根據(jù)垂直的定義得到∠AEB=∠AFD=90°，于是可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判斷△ABE∽△ADF；
（2）先根據(jù)相似的性質(zhì)得

AB

AD

=

AE

AF

，而AD=BC，根據(jù)比例性質(zhì)得

AB

AE

=

BC

AF

，然后利用AB∥CD得到∠BAF=∠AFD=90°，則可根據(jù)等角的余角相等得∠B=∠EAF，則可根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判斷△AEF∽△ABC．

解答：解：（1）相似．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF；
（2）相似．理由如下：
∵△ABE∽△ADF，
∴

AB

AD

=

AE

AF

，
而AD=BC，
∴

AB

AE

=

BC

AF

，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD=90°，
∴∠EAF+∠BAE=90°，
而∠B+∠BAE=90°，
∴∠B=∠EAF，
∴△AEF∽△ABC．

點評：本題考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．