Question

14．在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC所在直線上的，連接EF，ED，∠DEF=∠A，ED=EF，作EM⊥BC于點M，F(xiàn)N⊥BC于點N．

（1）如圖①，求證：EM+FN=$\sqrt{3}$MN；
（2）如圖②和圖③中線段EM，F(xiàn)N，MN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，不需要證明；
（3）S_△ABC=4$\sqrt{3}$，BE=$\frac{1}{4}$AB，則ED=$\sqrt{7}$或$\sqrt{43}$．

Answer 1

分析 （1）由△BED≌△CDF得到BE=CD，BD=CF，設(shè)BE=a，CF=b，則BC=a+b，求出MN與EM+FN（用a的代數(shù)式表示）即可證明．
（2）證明方法類似（1），形變證明方法基本不變，
（3）分類討論在圖①求出EM、MD在RT△EMD中利用勾股定理即可，在圖②計算方法類似．

解答 （1）證明：如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠DEF=∠A=60°，ED=EF，
∴△DEF是等邊三角形，
∴∠EDF=60°，DE=DF，
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC，
∴∠BED=∠FDC，
在△BED和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BED=∠FDC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CDF，
∴BE=CD，BD=CF，設(shè)BE=a，CF=b，則BC=a+b，
∵EM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC，∠BEM=∠CFN=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}a$，CN=$\frac{1}{2}$b，
∴MN=BC-BM-CN=a+b-$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a+b），EM+FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a+b）•$\sqrt{3}$，
∴EM+FN=$\sqrt{3}$MN．
（2）結(jié)論EM-FN=$\sqrt{3}$MN．理由如下，
如圖②中，連接DF，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠DBE=∠DCE=120°，
∵∠DEF=∠A=60°，ED=EF，
∴△DEF是等邊三角形，
∴∠EDF=60°，DE=DF，
∵∠ABC=∠BDE+∠BED=60°，∠EDF=∠FDC+∠BDE，
∴∠BED=∠FDC，
在△BED和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DCF}\\{∠BED=∠FDC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CDF，
∴BE=CD，BD=CF，設(shè)BE=a，CF=b，則BC=a-b
∵EM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC，∠BEM=∠CFN=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}a$，CN=$\frac{1}{2}$b，
∴MN=BC-BM+CN=a-b-$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a-b），EM+FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a-b）•$\sqrt{3}$，
∴EM-FN=$\sqrt{3}$MN．
如圖③中，結(jié)論：FN-EM=$\sqrt{3}$MN，（證明方法類似②）
（3）在圖①中，∵S_△ABC=4$\sqrt{3}$，BE=$\frac{1}{4}$AB，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=4$\sqrt{3}$，
∴AB=4，BE=1，由①可知BE+CF=BC，
∴CF=BD=3，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BM=$\frac{1}{2}$，DM=$\frac{5}{2}$，
∴DE=$\sqrt{M{E}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
在圖②不合題意，在圖③中，∵BE=CD=1，BM=$\frac{1}{2}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在RT△DEM中，∵DM=$\frac{13}{2}$，ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\sqrt{D{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{43}$，
故答案為$\sqrt{7}$或$\sqrt{43}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是尋找全等三角形，注意這種形變條件不變的題目在證明過程中方法是類似的，屬于中考�？碱}型．